f(x)=sin(x+ α)+cos(x-α),求使f(x)为偶函数的充分必要条件
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 14:20:43
f(x)=sin(x+ α)+cos(x-α),求使f(x)为偶函数的充分必要条件
f(x)=sin(x+ α)+cos(x-α),求使f(x)为偶函数的充分必要条件
f(x)=sin(x+ α)+cos(x-α),求使f(x)为偶函数的充分必要条件
f(x)为偶函数的充分必要条件是：f(x)=f(-x)
所以f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)=f(-x)=sin(-x+α)+cos(-x-α),
又sin（-x）=-sin x,cos(-x）=cosx
所以sin(x+α)+cos(α-x)=sin(α-x)+cos(x+α)
展开化简得 cos α=-sin α
即tan α=-1
由题得：f(-x)=f(x)对一切x∈R恒成立，
sin(-x+α)+cos(-x-α)=sin(x+α)+cos(x-α)
即sin(x+α)+sin(x-α)=cos(x+α)-cos(x-α)
2sinx•cosα=-2sinx•sinα
∴sinx(sinα+cosα)=0
∴对一切x∈R恒成立， 只需也必须siα+cosα...
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由题得：f(-x)=f(x)对一切x∈R恒成立，
sin(-x+α)+cos(-x-α)=sin(x+α)+cos(x-α)
即sin(x+α)+sin(x-α)=cos(x+α)-cos(x-α)
2sinx•cosα=-2sinx•sinα
∴sinx(sinα+cosα)=0
∴对一切x∈R恒成立， 只需也必须siα+cosα=0。
∴α=kπ-π/4.（k∈Z)
即α=kπ-π/4.（k∈Z)是f(x)=sin(x+ α)+cos(x-α)为偶函数的充分必要条件
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f(x)=sinxcosα+cosxsinα+cosxcosα+sinxsinα=sinx(cosα+sinα)+cosx(sinα+cosα)=(sinx+cosx)(sinα+cosα)
f(x)为偶函数 所以f(x)=f(-x)
所以（sinx+cosx)(sinα+cosα)=)=(sin-x+cos-x)(sinα+cosα)
所以(sinα+cosα) （si...
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f(x)=sinxcosα+cosxsinα+cosxcosα+sinxsinα=sinx(cosα+sinα)+cosx(sinα+cosα)=(sinx+cosx)(sinα+cosα)
f(x)为偶函数 所以f(x)=f(-x)
所以（sinx+cosx)(sinα+cosα)=)=(sin-x+cos-x)(sinα+cosα)
所以(sinα+cosα) （sinx+cosx-sin-x-cos-x）=0
由于cosx=cos-x sinx=-sin-x 所以上式变为：
(sinα+cosα) （2sinx）=0
显然只能是 sinα+cosα=0 所以sinα=-cosα
所以tanα=-1
所以α=nπ-π/4
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