函数题 设f(x)是定义在R上的函数,且对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x＞0时,0＜f(x)＜1,证明：（1）f(0)=1,且x＜0时,f(x)＞1；（2）f(x)是R上的单调减函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 03:51:32
函数题 设f(x)是定义在R上的函数,且对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x＞0时,0＜f(x)＜1,证明：（1）f(0)=1,且x＜0时,f(x)＞1；（2）f(x)是R上的单调减函数
函数题
设f(x)是定义在R上的函数,且对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x＞0时,0＜f(x)＜1,证明：
（1）f(0)=1,且x＜0时,f(x)＞1；
（2）f(x)是R上的单调减函数
函数题 设f(x)是定义在R上的函数,且对于任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x＞0时,0＜f(x)＜1,证明：（1）f(0)=1,且x＜0时,f(x)＞1；（2）f(x)是R上的单调减函数
1)
f(0)=1
当x>0时 -x1
f(x-x)=f(x)*f(-x)
f(x)=1/f(-x)
因为f(-x)>1
所以当x>0时 00 0
1.令x=1 y=0
f(1)=f(1)*f(0)
f(0)=1
令x>0 y=-x
f(0)=f(x)f(-x)=1
x>0 0＜f(x)＜1
f(-x)>1,即x＜0时，f(x)＞1
2.对任意x都有f(x)>0
f(x)=1/f(-x) （1中证的）
任取x1
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1.令x=1 y=0
f(1)=f(1)*f(0)
f(0)=1
令x>0 y=-x
f(0)=f(x)f(-x)=1
x>0 0＜f(x)＜1
f(-x)>1,即x＜0时，f(x)＞1
2.对任意x都有f(x)>0
f(x)=1/f(-x) （1中证的）
任取x1
x1-x2<0 f(x1-x2)>1 即f(x1)/f(x2)>1
f(x1)>f(x2)
f(x)是R上的单调减函数
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证明：
（1）由题，对于任意x,y∈R，f(x+y)=f(x)f(y)
令x=y=0，则有f(0)=f(0)的平方，即f(0)=0或1
若f(0)=0，则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0（即f(x)恒等于0），这与x>0时，0＜f(x)＜1矛盾，所以f(0)=1
令x>0且取y=-x<0，则f(0)=f(x+(-x))=f(...
全部展开
证明：
（1）由题，对于任意x,y∈R，f(x+y)=f(x)f(y)
令x=y=0，则有f(0)=f(0)的平方，即f(0)=0或1
若f(0)=0，则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0（即f(x)恒等于0），这与x>0时，0＜f(x)＜1矛盾，所以f(0)=1
令x>0且取y=-x<0，则f(0)=f(x+(-x))=f(x)f(-x)=1，即f(-x)=1/f(x)
因为x>0，所以有0
即证明了x<0时，f(x)>1
（2）任取 x、y，其中x>y（x,y∈R）
所以x-y>0，0
由（1）可知f(-x)=1/f(x)
所以f(x)f(-y)=f(x)/f(y)
即0
由x>0时，f(x)>0；x<0时，f(x)>1>0；x=0时，f(x)=1>0
可知x∈R时，f(x)恒大于0
这样就可以把f(y)移到不等式另一端 --------非常重要，细节
所以f(x)
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