2013年天津数学文科卷20题,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/04/20 03:18:49
2013年天津数学文科卷20题,
2013年天津数学文科卷20题,
2013年天津数学文科卷20题,
嗯,打字有点慢.
引用一下不介意吧?
（I）令f1(x)＝x3−(a+5)x(x≤0),f2(x)＝x3−
a+3
2
x2+ax(x＞0)．
①
f
′
1
(x)＝3x2−(a+5),由于a∈[-2,0],从而当-1＜x＜0时,
f
′
1
(x)＝3x2−(a+5)＜3−a−5≤0,
所以函数f1（x）在区间（-1,0）内单调递减,
②
f
′
2
(x)＝3x2−(a+3)x+a=（3x-a）（x-1）,由于a∈[-2,0],所以0＜x＜1时,
f
′
2
(x)＜0；
当x＞1时,
f
′
2
(x)＞0,即函数f2（x）在区间（0,1）内单调递减,在区间（1,∞）上单调递增．
综合①②及f1（0）=f2（0）,可知：f（x）在区间（-1,1）内单调递减,在区间（1,+∞）内单调递增；
（II）证明：由（I）可知：f′（x）在区间（-∞,0）内单调递减,在区间(0,
a+3
6
)内单调递减,在区间(
a+3
6
,+∞)内单调递增．
因为曲线y=f（x）在点Pi（xi,f（xi））（i=1,2,3）处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且f′(x1)＝f′(x2)＝f′(x3)．
不妨x1＜0＜x2＜x3,由3
x
2
1
−(a+5)＝3
x
2
2
−(a+3)x2=3
x
2
3
−(a+3)x3+a．
可得3
x
2
2
−3
x
2
3
−(a+3)(x2−x3)＝0,解得x2+x3＝
a+3
3
,从而0＜x2＜
a+3
6
＜x3．
设g（x）=3x2-（a+3）x+a,则g(
a+3
6
)＜g(x2)＜g(0)＝a．
由3
x
2
1
−(a+5)＝g(x2)＜a,解得−
2a+5
3
＜x1＜0,
所以x1+x2+x3＞−
2a+5
3
+
a+3
3
,
设t=
2a+5
3
,则a＝
3t2−5
2
,
∵a∈[-2,0],∴t∈[
3
3
,
15
3
],
故x1+x2+x3＞−t+
3t2+1
6
＝
1
2
(t−1)2−
1
3
≥−
1
3
,
故x1+x2+x3＞−
1
3
．
还有什么疑问,可以继续追问