矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.如图,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形并求AF的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/29 06:03:10
矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.如图,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形并求AF的长.
矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O
已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.如图,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形并求AF的长.）
矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.如图,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形并求AF的长.
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形
菱形的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形
2.对角线相互垂直的平行四边形(就是对角线互相垂直平分的四边形)
3.四条边都相等的四边形
(1)证对角线互相垂直平分
【分析：因为已知EF垂直平分AC,∴只需证明OE=OF则可.】
证明：因为EF垂直平分AC,
即OA=OC, EF⊥AC
因为AD∥BC,
∴△OAE∼△OCF(平行三角形一边的直线与另两边或延长线相交的直线所截得三角形与原三角形相似)
∴OA/OC=OE/OF∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形.(两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形)
(2)证一组对边平行且相等+邻边相等
【分析：由EF垂直平分AC可得EA=EC,显然AE∥FC,故只需证AE=FC即可】
证明：因为EF垂直平分AC,
∴EA=EC, FA=FC(线段垂直平分上的点到这条线段的两端距离相等)
因为AD∥BC,就是EA∥FC,∴∠OAE=∠OCF
又∠AOE=∠COF; OA=OC,
∴△OAE≅△OCF(AAS), ∴EA=FC,
∴四边形AFCE是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
因为EA=EC, (已证)
∴四边形AFCE是菱形.(一组邻边相等的平行四边形是菱形)
(3)证四边相等
【分析：由EF垂直平分AC,可得：EA=EC, FA=FC,故只需证明一组对边相等则可.】
证明：因为EF垂直平分AC,
∴EA=EC, FA=FC(线段垂直平分上的点到这条线段的两端距离相等)
或由上小题EA=FC得EA=EC=FA=FC,
∴四边形AFCE是菱形. (四边相等的四边形是菱形)
求AF的长
【分析：利用AF=FC,RT△ABF,勾股定理.或用三角相似比例线段】
∠COF=∠CBA=RT∠, ∠OCF=∠BCA
∴△OCF∼△BCA, ∴CF/CA=CO/CB
AC=√((4^2)+(8^2))＝4√(5), OC=2√(5)
∴CF=CA*CO/CB=4√(5)*2√(5)/8=5
则AF=CF=5
如用勾股定理
设AF＝X＝CF, BF=CB-CF=8-X
∴(X^2)=(4^2)+((8-X)^2) ∴ X=5=AF