直线与圆的方程一、已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的取值变式1：已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,

直线与圆的方程一、已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的取值变式1：已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,
直线与圆的方程
一、已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的取值
变式1：已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求圆心坐标级半径
变式2：设O为原点,曲线 ²+y²+2x-6y+1=0 有两点P、Q,满足关于直线 x+my+4=0 对称,有满足 向量OP ·向量OQ=0
求（1）m的值 （2）直线PQ的方程
变式题3：已知方程x²+y²-2x-4y+m=0
（1）若此方程表示圆,求m取值
（2）若（1）中的圆与直线交于M N两点,且OM⊥ON（O为原点）,求m
（3）在（2）的条件下,求以MN为直径的圆的方程
二、已知圆C：x²+（y-1）²=5,直线L：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R,直线L与圆C总有两个不同交点
（2）设L于圆C交于不同点A、B,求弦AB的中点M 的轨迹方程
（3）若定点P（1,1）分弦AB为AP/PB=1/2,求此时直线L方程

直线与圆的方程一、已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的取值变式1：已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,
x²+y²+x-6y+m=0
(x+1/2)^2+(y-3)^2=37/4-m>0,
解得：m0,即m0
解得m

一、x^2+y^2+x-6y+m=0与x+2y-3=0相交于P、Q两点
x=3-2y
x^2+y^2+x-6y+m=0
(3-2y)^2^2+y^2+(3-2y)-6y+m=0
5y^2-20y+12+m=0
yP+yQ=4
yP*yQ=(12+m)/5
xP=3-2yP,xQ=3-2yQ
xP*xQ=(3-2yP)*(3-2yQ)=...

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一、x^2+y^2+x-6y+m=0与x+2y-3=0相交于P、Q两点
x=3-2y
x^2+y^2+x-6y+m=0
(3-2y)^2^2+y^2+(3-2y)-6y+m=0
5y^2-20y+12+m=0
yP+yQ=4
yP*yQ=(12+m)/5
xP=3-2yP,xQ=3-2yQ
xP*xQ=(3-2yP)*(3-2yQ)=9-6(yP+yQ)+4yP*yQ
OP⊥OQ
k(OP)*k(OQ)=-1
(yP/xP)*(yQ/xQ)=-1
xP*xQ+yP*yQ=0
[9-6(yP+yQ)+4yP*yQ]+yP*yQ=0
9-6(yP+yQ)+5yP*yQ=0
9-6*4+5*(12+m)/5=0
m=3

变式1：圆方程与直线方程联立，得
5y²-20y+12+m=0
根与系数关系可得
y1+y2=4 y1y2=(12+m)/5 ①
则x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2=-15+4(12+m)/5 ②
OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0
由①、②式可得
m=3
则圆方程x²＋y²＋x－6y＋3＝0
(x+1/2)²+（y-3)²=25/4
所以坐标(-1/2,3)，半径5/2

变式2：曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P,Q满足关于直线x+my+4=0对称，
而x²+y²+2x-6y+1=(x+1)²+(y-3)²-9=0是一个圆，
所以，直线x+my+4=0必过其圆心，所以，m=1
P,Q满足关于直线x+y+4=0对称,所以直线PQ的斜率k=1,
因为向量OP*向量OQ=0，且P,Q在一个圆上，所以，直线PQ必过x²+y²+2x-6y+1=0
的圆心，所以，直线PQ方程为，x-y+4=0

变式题3：x^2+y^2-2x-4y+m=0
(x-1)^2+(y-2)^2=5-m
(5-m)>0
m<5

二、设A（x1,y1)B(x2,y2)
l:m(x-1)+1
x1^2+(y1-1)^2=5
x2^2+(y2-1)^2=5
所以(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-2)(y1-y2)=0
设M（x,y)
则2x=x1+x2,2y=y1+y2
所以2x=(2y-2)m=0
又m=(y-1)/(x-1)
2x=(2y-2)(y-1)/(x-1)
整理得x^2+y^2-x-2y+1=0
作CD垂直AB于D
△CDP中PD^2=1-CD^2
△DCA中AD^2=5-CD^2
AD-3PD
所以PD＝根号2/2
|-1+1-m|/根号（m^2+1)=根号2/2
m=正负1
y=x或y=2-x

收起

一、由x+2y-3=0得x=3-2y代入x2+y2+x-6y+m=0
化简得：5y2-20y+12+m=0y1+y2=4，y1•y2=

12+m5

设P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由OP⊥OQ可得：x1•x2+y1•y2=0（8分）
x1•x2+y1•y2=（3-2y1）•（3-2y2）+y1•y2
=9-6（y1+y2）+5y1•y2
=9-6×4+5×

12+m5

=m-3=0

解得：m=3

变式1、

将x=3-2y代入方程x2+y2+x-6y+m=0，得5y2-20y+12+m=0．

设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件

12+m   

5   

∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0．

而x1=3-2y1，x2=3-2y2，

∴x1x2=9-6（y1+y2）+4y1y2．

∴m=3，此时△＞0，圆心坐标为（-0.5，3），半径r=2.5

变式2、

变式3、

二、

如果题目的图看不清楚的话，可以来问我题目的网站

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你是直接要答案还是要过程？

的vgdfgvdgv

已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的取值
设P(x1,y1) Q(x2,y2)
OP⊥OQ x1x2+y1y2=0

x=3-2y 代入 x²+y²+x-6y+m=0 得
9-12y+4y^2+y^2+3-2y-6y+m=0...

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已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的取值
设P(x1,y1) Q(x2,y2)
OP⊥OQ x1x2+y1y2=0

x=3-2y 代入 x²+y²+x-6y+m=0 得
9-12y+4y^2+y^2+3-2y-6y+m=0
5y^2-20y+12+m=0
y1+y2=4 y1y2=(12+m)/5
x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2
x1x2+y1y2=9-6(y1+y2)+5y1y2=-15+12+m=0 m=3

变式1：已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求圆心坐标级半径
m=3 x²+y²+x-6y+3=0 D=1 E=-6 F=3
圆心坐标（-D/2,-E/2）=(-1/2,3)
半径r=√(D^2+E^2-4F)/2=5/2

变式2：设O为原点，曲线 x²+y²+2x-6y+1=0 有两点P、Q，满足关于直线 x+my+4=0 对称，有满足 向量OP ·向量OQ=0
有两点P、Q，满足关于直线 x+my+4=0 对称，则圆心（-1,3）在直线上，m=-1
（1）m的值=-1
m的值=-1 直线 x+my+4=0为 x-y+4=0
（2）直线PQ的方程
直线 x-y+4=0 为PQ的垂直平分线
设P(x1,y1) Q(x2,y2) kPQ=-1
设直线PQ方程为：x+y+c=0 （解法同一，略）

变式题3：已知方程x²+y²-2x-4y+m=0
（1）若此方程表示圆，求m取值
D^2+E^2-4F>0
4+16-4F=20-4F>0 F<5
（2）若（1）中的圆与直线交于M N两点，且OM⊥ON（O为原点），求m
直线???
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程

二、已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线L：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个不同交点
圆心到直线的距离d=|m|/√(m^2+1)<1<半径√5
直线L与圆C总有两个不同交点
（2）设L于圆C交于不同点A、B，求弦AB的中点M 的轨迹方程
mx-y+1-m=0 y-1=mx-m 代入x²+（y-1）²=5
x^2+m^2(x^2-2x+1)-5=0
(m^2+1)x^2-2m^2x+m^2-5=0
x1+x2=2m^2/(m^2+1) 中点横坐标x=m^2/(m^2+1)
y1+y2=m(x1+x2)+2-2m=2m^3/(m^2+1)+2-2m=(2m^2-2m+2)/(m^2+1)
中点纵坐标y=(m^2-m+1)/(m^2+1)
（3）若定点P（1,1）分弦AB为AP/PB=1/2，求此时直线L方程

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一、设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由OP⊥OQ，得：向量OP ·向量OQ=0，即x1x2+y1y2=0
联立x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0，消去x，得5y²-20y+12+m=0
所以y1+y2=4,y1y2=(12+m)/5，x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4(12+m)/5-15
x1x2+y1y2=...

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一、设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由OP⊥OQ，得：向量OP ·向量OQ=0，即x1x2+y1y2=0
联立x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0，消去x，得5y²-20y+12+m=0
所以y1+y2=4,y1y2=(12+m)/5，x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4(12+m)/5-15
x1x2+y1y2=(12+m)-15=0，所以m=3
变式1：圆方程 x²+y²+x-6y+3=0，所以圆心坐标：（-1/2,3），半径：r=5/2
变式2：(1)圆上两点P、Q关于直线 x+my+4=0 对称，则该直线为弦PQ的中垂线，
所以直线 x+my+4=0 过圆心(-1,3)，则m=-1
(2)设PQ的方程：x+y+t=0，代入圆方程，得：2x²+（2t+8）x+t²+6t+1=0，
则x1+x2=-t-4，x1x2=(t²+6t+1)/2，所以y1y2=(-x1-t)(-x2-t)=(t²-2t+1)/2
因为向量OP ·向量OQ=0，所以x1x2+y1y2=(t+1)²=0，所以t=-1
PQ的方程：x+y-1=0
变式3(1)：(-2)²+(-4)²-4m>0，得：m<5
(2)直线方程是什么？？？(3)……………………
二、圆心(0,1)到直线L的距离d=|m|/根号下m²+1，利用基本不等式可知d<=1/2则直线L与圆C总有两个不同交点。
证法2：直线L：mx-y+1-m=0过定点（1,1），而定点（1,1）在圆C：x²+（y-1）²=5内部，
则直线L与圆C总有两个不同交点。

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