数列 (30 20:8:43)已知函数f（x）=2^x-2^(-x),数列{An}满足f（logAn/log2）=-2n（1）求数列{An}的通项公式（2）求证：数列{An}是递减数列

数列 (30 20:8:43)已知函数f（x）=2^x-2^(-x),数列{An}满足f（logAn/log2）=-2n（1）求数列{An}的通项公式（2）求证：数列{An}是递减数列
数列 (30 20:8:43)
已知函数f（x）=2^x-2^(-x),数列{An}满足f（logAn/log2）=-2n
（1）求数列{An}的通项公式
（2）求证：数列{An}是递减数列

数列 (30 20:8:43)已知函数f（x）=2^x-2^(-x),数列{An}满足f（logAn/log2）=-2n（1）求数列{An}的通项公式（2）求证：数列{An}是递减数列
依题意得：
2^（logAn/log2）+2^（-logAn/log2)=-2n
由换底公式可得logAn/log2=log2(An)（2为底,An为真数）
设log2(An)=x
由对数的定义可知2^x=An
把log2(An)=x代入第一个式子中可得：
2^x+2^(-x)=-2n
又因为2^x=An
所以An+1/An=-2n
两边同时乘以An,得An^2+2nAn-1=0
由求根公式可得An=-n±√(n^2+1)
但是因为logAn有意义,所以An大于0
所以An=-n+√(n^2+1)
此为An的通项公式
（2）
由（1）知An=-n+√(n^2+1)
现构造函数f(n),使得f(n)=-n+√(n^2+1)
对f(n)求导可得f'(n)=n/(√(n^2+1))-1
因为n/(√(n^2+1))所以n/(√(n^2+1))-1<0
因为f(n)的导函数始终小于0
所以f(n)在其定义域上递减
所以An是递减数列.
楼上两位可能理解错题意,导致在计算上出错.

数列An满足f（logAn/log2）=-2n =An-1/An=-2n
而且，对于对数函数的定义域大于0，则有An>0
解出 An=An=(n^2+1)^(1/2)-n =1/[(n^2+1)^(1/2)+n]
An是单调递减收敛数列，收敛于 0

logAn/log2=log2(An)(2为底，An的对数)
2^[log2(An)]=An
所以An-1/An=-2n
又An>0
所以An=(n^2+1)^(1/2)-n
分子有理化
An=1/[(n^2+1)^(1/2)+n]
单调减