在棱长为2√3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1 、DC的距离之和为4,在棱长为2√3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1 、DC的距离之和为4,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/05 11:08:30
在棱长为2√3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1 、DC的距离之和为4,在棱长为2√3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1 、DC的距离之和为4,
在棱长为2√3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1 、DC的距离之和为4,
在棱长为2√3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1 、DC的距离之和为4,则向量PC1·PC的取值范围是
在棱长为2√3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1 、DC的距离之和为4,在棱长为2√3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1 、DC的距离之和为4,
很简单,这其实并不是什么立体几何问题.
向量PC1·PC=|PC1||PC|cos∠(PC1,PC)
已知P到D1C1,DC的距离就是PC1,PC,这是因为D1C1,DC都垂直于面BCC1B1
则,|PC1|+|PC|=4
又知道正方体棱长是2√3
则P的轨迹是以C1,C为焦点的椭圆的一部分,因为P不能到平面BCC1B1之外
根据椭圆的图像性质,建立以CC1为x轴,CC1的中垂线为y轴的直角坐标系
得到椭圆的曲线方程x²/4+y²=1,注意,该图像要去掉平面BCC1B1之外的部分
根据在建立的坐标系的解析几何的知识
当P在BC边上时,|PC|有最小值1/2
当P在B1C1边上时,|PC|有最大值7/2
即1/2≤|PC|≤7/2
根据余弦定理
cos∠(PC1,PC)=[|PC|²+|PC1|²-|CC1|²]/2|PC||PC1|
=[|PC|²+|PC1|²-12]/2|PC||PC1|
=[|PC|²+(4-|PC|)²-12]/2|PC||PC1|
=[2|PC|²-8|PC|+4]/2|PC||PC1|
从而
向量PC1·PC=|PC1||PC|cos∠(PC1,PC)
=|PC|²-4|PC|+2
又知道1/2≤|PC|≤7/2
故根据二次函数的最值知识
当|PC|=2时,向量PC1·PC有最小值-2
当|PC|=1/2或者7/2时,向量PC1·PC有最大值1/4
所以向量PC1·PC的取值范围是[-2,1/4]