那 f(x) = (e^(2x))cosx的泰勒展开式是什么呢?（方便起见,就说4级泰勒展开）,：）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/07 19:01:26
那 f(x) = (e^(2x))cosx的泰勒展开式是什么呢?（方便起见,就说4级泰勒展开）,：）
那 f(x) = (e^(2x))cosx的泰勒展开式是什么呢?（方便起见,就说4级泰勒展开）,：）
那 f(x) = (e^(2x))cosx的泰勒展开式是什么呢?（方便起见,就说4级泰勒展开）,：）
这种展开没什么好说的,老老实实按照定义计算.我下面在x=0处展开（在不同展开点的展开式是不一样的）
f(0)=1,
f'(0) = 2exp(2x)cos(x) - exp(2x)sin(x)| x=0 = 2,
f''(0) = 4exp(2x)cos(x) - 2exp(2x)sin(x) - 2exp(2x)sin(x) - exp(2x)cos(x) | x=0 = 3,
f'''(0) = [ 3exp(2x)cos(x) - 4exp(2x)sin(x) ]' | x=0 = 6exp(2x)cos(x) - 3exp(2x)sin(x) - 8exp(2x)sin(x) - 4exp(2x)cos(x) | x=0 = 2;
f''''(0) = [ 2exp(2x)cos(x) - 11exp(2x)sin(x) ]' | x=0 = 4exp(2x)cos(x) - 2exp(2x)sin(x) - 11exp(2x)cos(x) - 22exp(2x)sin(x) | x=0 = -7,所以
f(x) = 1 + 2x + 3x^2/2 + x^3/3 - 7x^4/24 + o(x^4).
另一种方法是用多项式乘积的办法.首先有（这两个一定要分别展开到四次,否则答案就是错的）：
exp(2x) = 1 + 2x + (2x)^2/2 + (2x)^3/6 + (2x)^4/24 + o(x^4),
cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4),
然后看二者的乘积,分别找出x 的一次项,二次项.四次项：
常数项：1；
一次项：2；
二次项：-1/2 + 2 = 3/2；
三次项：-1 + 8/6 = 1/3；
四次项：1/24 - 1 + 16/24 = -7/24,
这样展开式和上面的一样.两种方法都是可以的. 后面高阶的项o(x^4)你不用担心,你就把o(x^4)想成x^5项的话,那么两个乘起来进行交叉乘积运算,不可能再出现x的四次项了.而展开后你会发现后面的都是x^5, x^6项等等,但这里我们只关心到四阶,所以这些东西统统都归并到o(x^4).要知道高阶无穷小有个性质,那就是x^no(x^m) = o(x^(m+n)),o(x^n)o(x^m) = o(x^(m+n)).