已知圆C:(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在Y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A、B两点,且点P(-3,0)1、若点D在Y轴上运动时,求∠APB的最大值2、在X轴上是否存在点Q,当圆D在Y轴上运动时,∠AQB为定值?若存在,
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/05/23 22:24:52
已知圆C:(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在Y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A、B两点,且点P(-3,0)1、若点D在Y轴上运动时,求∠APB的最大值2、在X轴上是否存在点Q,当圆D在Y轴上运动时,∠AQB为定值?若存在,
已知圆C:(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在Y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A、B两点,且点P(-3,0)
1、若点D在Y轴上运动时,求∠APB的最大值
2、在X轴上是否存在点Q,当圆D在Y轴上运动时,∠AQB为定值?若存在,求出Q的坐标;若不存在,说明理由.
已知圆C:(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在Y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A、B两点,且点P(-3,0)1、若点D在Y轴上运动时,求∠APB的最大值2、在X轴上是否存在点Q,当圆D在Y轴上运动时,∠AQB为定值?若存在,
设已知圆圆心为M1 相切圆圆心为M2
设相切圆方程为:
x^2+(y-a)^2=r^2 (a和r>0) (因为y轴上面和y轴下面的情况完全对称 所以考虑其中一种即可)
有勾股定理:
OM2^2+OM1^2=M1M2^2
所以a=根号下(2+r)^2-16
所以不妨设A(0,a+r) B(0,a-r)
kAP=(a+r)/3 kBP=(a-r)/3
将a=根号下(2+r)^2-16代入夹角公式计算后
得tg角APB=6r/(4r-3)
因为r>=2 要使6r/(4r-3)有最大值
即r=2 最大值为12/5
最大角为arctg12/5
若存在 设此点为(-b,0)
则夹角公式代入后得(其实就是将3替换成b)
2br/(b^2+2r-12) 因为r可取R+ 所以当且仅当b=0时 tg角AQB为定值
但可能为0或180度 所以不存在
路过
1)由已知中圆C:(x+4)2+y2=4,点D(0,3),我们易求出CD的长,进而求出圆D的半径,求出A,B两点坐标后,可由tan∠APB=kBP得到结果.
(2)设D点坐标为(0,a),圆D半径为r,我们可以求出对应的圆D的方程和A,B两点的坐标,进而求出∠APB正切的表达式(含参数r),求出其最值后,即可根据正切函数的单调性,求出∠APB的最大值;
(3)假设存在点Q(b,0)...
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1)由已知中圆C:(x+4)2+y2=4,点D(0,3),我们易求出CD的长,进而求出圆D的半径,求出A,B两点坐标后,可由tan∠APB=kBP得到结果.
(2)设D点坐标为(0,a),圆D半径为r,我们可以求出对应的圆D的方程和A,B两点的坐标,进而求出∠APB正切的表达式(含参数r),求出其最值后,即可根据正切函数的单调性,求出∠APB的最大值;
(3)假设存在点Q(b,0),根据∠AQB是定值,我们构造关于b的方程,若方程有解,则存在这样的点,若方程无实根,则不存在这样的点.(1)∵|CD|=5,
∴圆D的半径r=5-2=3,此时A、B坐标分别为A(0,0)、B(0,6)
∴tan∠APB=kBP=2(3分)
(2)设D点坐标为(0,a),圆D半径为r,则(r+2)2=16+a2,A、B的坐标分别为(0,a-r),(0,a+r)
∴kPA=a-r 3 ,kPB=a+r 3∴tan∠APB=a+r 3 -a-r 3 1+a+r 3 •a-r 3 =6r a2-r2+9 =6r (r+2)2-16-r2+9 =6r 4r-3 =3 2 +9 8r-6
∵|r+2|2≥16,
∴r≥2,
∴8r-6≥10,
∴3 2 <tan∠APB≤12 5
∴∠APB的最大值为arctan12 5 .(8分)
(3)假设存在点Q(b,0),由kQA=a-r -b ,kQB=a+r -b ,得tan∠AQB=|a+r -b -a-r -b 1+a+r b •a-r b |=|-2br a2+b2-r2 |
∵a2=(r+2)2-16,
∴tan∠AQB=2|b| |b2-12 r +4|
欲使∠AQB的大小与r无关,则当且仅当b2=12,即b=±2 3 ,
此时有tan∠AQB= 3 ,即得∠AQB=60°为定值,
故存在Q(2 3 ,0)或Q(-2 3 ,0),使∠AQB为定值60°.(13分)点评:本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用,其中根据已知中圆C:(x+4)2+y2=4,圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切,圆D与y 轴交于A、B两点,确定圆D的方程,进而求出A,B的方程是解答本题的关键.
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