证明函数f(x)=-x^2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数 .当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/13 15:03:39
证明函数f(x)=-x^2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数 .当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值
证明函数f(x)=-x^2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数 .当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值
证明函数f(x)=-x^2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数 .当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值
f(x)=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4
设x1
题目写错了吧，f(x)=-x^2+2x+3在区间(-∞,1]上怎么可能是增函数
证明：函数的对称轴为x=1，又因为开口向下，所以增区间为（负无穷，1]
因为增区间为（负无穷，1]，且函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数，所以m<=1
m 的取值是负无穷到一
0.0
(1)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1＜x2，则有
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1＜x2，
∴x1-x2＜0,x1+x2＜2.
∴2-x1-x2＞0.
∴f(x1)-f(x2)＜0.<...
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(1)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1＜x2，则有
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1＜x2，
∴x1-x2＜0,x1+x2＜2.
∴2-x1-x2＞0.
∴f(x1)-f(x2)＜0.
∴f(x1)＜f(x2).
∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.
(2)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(-∞,1］.
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f(X)=-(X-1)^2+2
任取X1，X2属于（负无穷，1]，且X1>X2
f(X1)-f(X2)=-（X1-1）^2+2+(X2-1)^2-2
=-(X1-1)^2+(X2-1)^2
=[(X1-1)+(X2-1)][-(X1-1)+(X2-1)]
=(X1+X2-2)(X2-X1)
因为X2>X1>1，所以X1+X2-2<0，X2-X1<0，...
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f(X)=-(X-1)^2+2
任取X1，X2属于（负无穷，1]，且X1>X2
f(X1)-f(X2)=-（X1-1）^2+2+(X2-1)^2-2
=-(X1-1)^2+(X2-1)^2
=[(X1-1)+(X2-1)][-(X1-1)+(X2-1)]
=(X1+X2-2)(X2-X1)
因为X2>X1>1，所以X1+X2-2<0，X2-X1<0，
所以f(X1)-f(X2)>0
所以f（x）在（负无穷，1]上是增函数。
因为X在（负无穷，m]上也是增函数，所以(负无穷，m]是区间（负无穷，1]的子集。所以m小于等于1.
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