2010年初二数学竞赛
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/04/24 11:00:14
2010年初二数学竞赛
2010年初二数学竞赛
2010年初二数学竞赛
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分,每小题7分）
1.若 均为整数且满足 ,则 （ B ）
A．1.B．2.C．3.D．4.
2．若实数 满足等式 ,,则 可能取的最大值为 （ C ）
A．0.B．1.C．2.D．3.
3．若 是两个正数,且 则 （ C ）
A． .B． .C． .D． .
4．若方程 的两根也是方程 的根,则 的值为 （ A ）
A．－13.B．－9.C．6.D． 0.
5．在△ 中,已知 ,D,E分别是边AB,AC上的点,且 ,,,则 ( B )
A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.
6．对于自然数 ,将其各位数字之和记为 ,如 ,,则 （ D ）
A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.
二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）
1．已知实数 满足方程组 则 13 .
2．二次函数 的图象与 轴正方向交于A,B两点,与 轴正方向交于点C．已知 ,,则 ．
3．在等腰直角△ABC中,AB＝BC＝5,P是△ABC内一点,且PA＝ ,PC＝5,则PB＝___ ___．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）设整数 （ ）为三角形的三边长,满足 ,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
①
令 ,则 ,其中 均为自然数.
于是,等式①变为 ,即
②
由于 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的 只有两组：和
（1）当 时,,.又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时,,.又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中,AB＝AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长,交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN,BA＝BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ＝∠ACB,所以MQ//AC.
又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数 的图象经过两点P ,Q .
（1）如果 都是整数,且 ,求 的值.
（2）设二次函数 的图象与 轴的交点为A、B,与 轴的交点为C.如果关于 的方程 的两个根都是整数,求△ABC的面积.
解 点P 、Q 在二次函数 的图象上,故 ,,
解得 ,.
（1）由 知 解得 .
又 为整数,所以 ,,.
(2) 设 是方程的两个整数根,且 .
由根与系数的关系可得 ,,消去 ,得 ,
两边同时乘以9,得 ,分解因式,得 .
所以 或 或 或
解得 或 或 或
又 是整数,所以后面三组解舍去,故 .
因此,,,二次函数的解析式为 .
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0）,点C的坐标为（0,2）,所以△ABC的面积为 .