已知函数f(x)=2lnx-x^2-ax (1)求函数的单调区间（2）如果函数f(x)有两个不同的零点x1,x2 且x1

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/05/05 17:35:29

已知函数f(x)=2lnx-x^2-ax(1)求函数的单调区间（2）如果函数f(x)有两个不同的零点x1,x2且x1已知函数f(x)=2lnx-x^2-ax(1)求函数的单调区间（2）如果函数f(x)

已知函数f(x)=2lnx-x^2-ax (1)求函数的单调区间（2）如果函数f(x)有两个不同的零点x1,x2 且x1
已知函数f(x)=2lnx-x^2-ax (1)求函数的单调区间
（2）如果函数f(x)有两个不同的零点x1,x2 且x1

已知函数f(x)=2lnx-x^2-ax (1)求函数的单调区间（2）如果函数f(x)有两个不同的零点x1,x2 且x1
(1)f'(x)=(2-2x^2-ax)/x,(x>0)
此问不多说,然后对a分类讨论,解二次方程即可.
(2)设x1,x2的中点为x0
因为px0
f'(x)=2/x-2x-a
求f(x)的二阶导数得f'(x)单调递减
故f'(px1+qx2)<0 <=> f'(x0)<0
那么假设存在x0使f'(x0)>=0
由已知
(1) 2lnx1-x1^2-ax1=0
(2) 2lnx2-x2^2-ax2=0
(3)(x1+x2)/2=x0
(4)2/x0-2x0-a>=0
联立上述4式,解得存在x1,x2的值使2(x2-x1)/(x1+x2)>=ln(x2/x1) (*) 成立.
对(*)式令x2/x1=t(t>1)
令g(t)=lnt-(2t-2)/(t+1)
则存在t(t>1)使g(t)<=0.
又因为g(1)=0
g'(t)=(t-1)^2/t(t+1)^2>0
所以g(t)>0,(t>1)
即不存在t(t>1)使g(t)<=0；
假设不成立,即f'(x0)<0
即f'(px1+qx2)<0

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