已知向量AB=(3,1),AC=(-1,a),a∈R,(1)若D为BC中点,向量AD=(m,2),求a、m的值(2)若三角形ABC是直角三角形,求a值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/19 15:57:56
已知向量AB=(3,1),AC=(-1,a),a∈R,(1)若D为BC中点,向量AD=(m,2),求a、m的值(2)若三角形ABC是直角三角形,求a值
已知向量AB=(3,1),AC=(-1,a),a∈R,(1)若D为BC中点,向量AD=(m,2),求a、m的值(2)若三角形ABC是直角三角形,
求a值
已知向量AB=(3,1),AC=(-1,a),a∈R,(1)若D为BC中点,向量AD=(m,2),求a、m的值(2)若三角形ABC是直角三角形,求a值
向量BC=向量AC-向量AB=(-1,a)-(3,1)=(-4 ,a-1)
因为：D为BC中点,所以,向量BD=向量BC/2=(-2 ,(a-1)/2）
又因为：向量AD=向量AB+向量BD=(3 ,1)+(-2 ,(a-1)/2)=(m,2)
所以：3-2=m ,1+(a-1)/2=2
解之,m=1 ,a=3
由（1）得：向量BC=(-4 ,a-1)
由题仅知三角形ABC是直角三角形 ,而未确定那个是直角,故将分三种情况讨论：
1、 当 AB⊥AC ,向量AB*向量AC=0
即：3×（-1）+1×a=0 ,
所以,a=3
2、 当 AB⊥BC ,向量AB*向量BC=0
即：3×（-4）+1×(a-1)=0 ,
所以,a=13
3、 当 AC⊥BC ,向量AC*向量BC=0
即：(-1)×（-4）+a×(a-1)=0 ,
得方程：a^2-a+4=0 即：(a-1/2)^2=-15/4
该题可设A点为原点（0，0），则B（3，1），C（-1，a），则第一问中，D即为BC的中点，
即2m=3-1=2,得m=1，1+a=2*2=4，a=3.
第二问中，设AC垂直于AB，则有1/3*a/(-1)=-1,得a=3；
再设AC垂直于BC，则有-a*(1-a)/4=-1,得a的平方-a+4=0,无解。
所以a=3.