如图,P为正三角形ABC内一点,PA=2,PB=4,PC=2√3,求正三角形ABC的面积

如图,P为正三角形ABC内一点,PA=2,PB=4,PC=2√3,求正三角形ABC的面积
如图,P为正三角形ABC内一点,PA=2,PB=4,PC=2√3,求正三角形ABC的面积

如图,P为正三角形ABC内一点,PA=2,PB=4,PC=2√3,求正三角形ABC的面积
将△BPC绕点B逆时针方向旋转至△BDA,连DP,
所以△BPC≌△BDA,
所以DA=2√3
显然△BDP是等边三角形,所以DP=BP=4,
又PA=2,
AD^2=(2√3)^2=12,
DP^2=16,
AP^2=4,
所以DP^2=AD^2+AP^2
所以△ADP是直角三角形,且AP=DP/2,
所以∠ADP=30°,
所以∠ADB=30+60=90,
勾股定理,得,AB^2=AD^2+BD^2=28
所以AB=2√7,
所以△ABC面积=(1/2)*√3/2*(2√7)^2=7√3

在BC下方作一点D，使得DC=CP且角PCD=60，连接PD和BD
由BC=AC，DC=PC，角BCD=60-角PCB=角ACP可知：BCD全等于ACP，BD=AP=2
在三角形PBD中，易证三条边符合勾股定理，即PBD为直角三角形，且角BPD=30度
从而角BPC=30+60=90
BC=根号（16+12)=2根号7
三角形ABC高为根号(28-7)=根号...

全部展开

在BC下方作一点D，使得DC=CP且角PCD=60，连接PD和BD
由BC=AC，DC=PC，角BCD=60-角PCB=角ACP可知：BCD全等于ACP，BD=AP=2
在三角形PBD中，易证三条边符合勾股定理，即PBD为直角三角形，且角BPD=30度
从而角BPC=30+60=90
BC=根号（16+12)=2根号7
三角形ABC高为根号(28-7)=根号21
面积为：1/2 x 2√7 x √21=7√3

收起

你不是做出来了吗？三个三角形都要旋转就形成了三个斜边为4的30°三角形和三个分别以2,4,2√3为边长的正三角形，他们的面积总和为
S=1/2*3*2*2√3+1/2*（√3/4）*【2²+（2√3）² +4²】 ∴S△ABC=1/2S
注：√3/4*a²为等边三角形面积公式

S=14√3 ...

全部展开

你不是做出来了吗？三个三角形都要旋转就形成了三个斜边为4的30°三角形和三个分别以2,4,2√3为边长的正三角形，他们的面积总和为
S=1/2*3*2*2√3+1/2*（√3/4）*【2²+（2√3）² +4²】 ∴S△ABC=1/2S
注：√3/4*a²为等边三角形面积公式

S=14√3 ∴S△ABC=7√3

这道题我们以前做过几次了，这个方法简单也不难理解。
希望对你有所帮助。

收起

e