2010江苏徐州数学中考压轴题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/04/24 23:18:23
2010江苏徐州数学中考压轴题
2010江苏徐州数学中考压轴题
2010江苏徐州数学中考压轴题
（江苏省徐州市）如图,已知二次函数y＝－ x 2＋ x＋4的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC．
（1）点A的坐标为____________,点C的坐标为____________；
（2）线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在,请说明理由；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有两个,并求出此时点P的坐标．
（1）A（0,4）,C（8,0） 2分
（2）存在
设直线AC的解析式为y＝kx＋b
则b＝48k＋b＝0 解得k＝－ b＝4
∴直线AC的解析式为y＝－ x＋4 3分
∵抛物线的对称轴为x＝－ ＝3,∴D（3,0）
∴AD＝ ＝5,DC＝8－3＝5,∴AD＝DC
①当DE＝DC时,点E与点A重合,∴E1（0,4）
4分
②当EC＝DC时,则EC＝5,又AC＝ ＝
如图①,过E作EF⊥DC于F,则△EFC∽△AOC
∴ ＝ ,即 ＝ ,∴EF＝ ,∴FC＝
由－ x＋4＝ 得x＝8－
∴E2（8－ , ） 5分
③当ED＝EC时,如图①,过E作EG⊥DC于G,则DG＝ DC＝
∴OG＝OD＋DG＝3＋ ＝ ,代入y＝－ x＋4,得y＝
∴E3（ , ） 6分
综上所述,符合条件的点E有三个：E1（0,4）,E2（8－ , ）,E3（ , ）
（3）方法1：如图②,过P作PH⊥OC,垂足为H,交直线AC于点Q
设P（m,－ m 2＋ m＋4）,则Q（ ,－ m＋4）
①当0＜m＜8时
PQ＝(－ m 2＋ m＋4)－(－ m＋4)＝－ m 2＋2m
S△PAC ＝S△APQ ＋ S△CPQ ＝ ×8×(－ m 2＋2m)＝－(m－4)2＋16
∴0＜S≤16 7分
②当－2＜m＜0时
PQ＝(－ m＋4)－(－ m 2＋ m＋4)＝ m 2－2m
S△PAC ＝S△CPQ － S△APQ ＝ ×8×( m 2－2m)＝(m－4)2－16
∴0＜S＜20
故S＝16时,相应的点P有且只有两个 8分
当m＝4时,S＝16,此时y＝－ m 2＋ m＋4＝6
∴P1（4,6） 9分
由(m－4)2－16＝16,得m1＝4＋ （舍去）,m2＝4－
∴y＝－ m 2＋ m＋4＝ －2
∴P2（4－ , －2） 10分
方法2：如图③,将线段AC向上平移,记平移后的线段为A′C′,在A′C′与抛物线相切前,A′C′ 与抛物线始终有两个交点,加上线段AC下方的一个点,共有三个P点可以构成△PAC；当A′C′ 与抛物线相切时,满足条件的点P有且只有两个．
设直线A′C′ 的解析式为y＝－ x＋b,代入抛物线的解析式得：
－ x 2＋ x＋4＝－ x＋b,整理得：x 2－8x＋4b－16＝0
当A′C′ 与抛物线只有一个交点时,Δ＝(－8)2－4(4b－16)＝0
解得b＝8,∴A′A＝AO＝4
又∵A′C′‖AC,∴△PAC和△AOC的公共边AC上的高也相等
∴S△PAC ＝S△AOC ＝ ×8×4＝16
故当S＝16时,相应的点P有且只有两个 8分
联立y＝－ x＋8y＝－ x 2＋ x＋4 解得x＝4y＝6
∴P1（4,6） 9分
将线段AC向下平移至经过原点O,并向上延长交抛物线于点P2,
则S△P2AC ＝S△P1AC ＝S△AOC ＝16,直线OP2的解析式为y＝－ x
把y＝－ x代入y＝－ x 2＋ x＋4,得－ x 2＋ x＋4＝－ x
解得x1＝4＋ （舍去）,x2＝4－ ,∴y＝ －2
∴P2（4－ , －2） 10分