求证 x2+y2+z2>=2xycosC+2yzcosA+2zxcosB 其中A,B,C为三角形ABC的内角,x,y,z为任意三个实数x,y,z不是三角形ABC三边

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/03/29 14:02:28
求证x2+y2+z2>=2xycosC+2yzcosA+2zxcosB其中A,B,C为三角形ABC的内角,x,y,z为任意三个实数x,y,z不是三角形ABC三边求证x2+y2+z2>=2xycosC+

求证 x2+y2+z2>=2xycosC+2yzcosA+2zxcosB 其中A,B,C为三角形ABC的内角,x,y,z为任意三个实数x,y,z不是三角形ABC三边
求证 x2+y2+z2>=2xycosC+2yzcosA+2zxcosB 其中A,B,C为三角形ABC的内角,x,y,z为任意三个实数
x,y,z不是三角形ABC三边

求证 x2+y2+z2>=2xycosC+2yzcosA+2zxcosB 其中A,B,C为三角形ABC的内角,x,y,z为任意三个实数x,y,z不是三角形ABC三边
x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB
x²+y²+z²-x(2ycosC+2zcosB)-2yzcosA≥0
(x-ycosC-zcosB)²+y²+z²-2yzcosA-(ycosC+zcosB)²≥0
(x-ycosC-zcosB)²+y²sin²C+z²sin²B-yz(2cosA+2cosCcosB)≥0
(x-ycosC-zcosB)²+y²sin²C+z²sin²B-yz[-2cos(B+C)+2cosCcosB]≥0
(x-ycosC-zcosB)²+y²sin²C+z²sin²B-yz[-2cosCcosB+2sinBsinC+2cosCcosB]≥0
(x-ycosC-zcosB)²+y²sin²C+z²sin²B-yz2sinBsinC≥0
(x-ycosC-zcosB)²+(ysinC-zsinB)²≥0
上不等式显然成立,故原命题成立
当x=ycosC+zcosB,ysinC=zsinB时取等号

根据余弦定理,
x^2=y^2+z^2-2yzcosA
y^2=x^2+z^2-2xzcosB
z^2=x^2+y^2-2xycosC
三个式子相加可以得到:
x^2+y^2+z^2=2x^2+2y^2+2z^2-2xycosA-2yzcosB-2xzcosC
-(x^2+y^2+z^2)=-(2xycosA+2yzcosB+2xzcosC)
所以原题得证.