设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中的a,b,c均为整数且f(0),f(1)均为奇数,求证:方程f(x)=0无整数解,

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/05/11 03:13:31
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中的a,b,c均为整数且f(0),f(1)均为奇数,求证:方程f(x)=0无整数解,设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中的a,b,

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中的a,b,c均为整数且f(0),f(1)均为奇数,求证:方程f(x)=0无整数解,
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中的a,b,c均为整数且f(0),f(1)均为奇数,求证:方程f(x)=0无整数解,

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中的a,b,c均为整数且f(0),f(1)均为奇数,求证:方程f(x)=0无整数解,
f(1)=c 所以C为奇数
f(0)=A+B+C 因为C是奇数,且A+B+C为奇数,所以A+B必定为偶数 所以A和B必定都为偶数或者都为奇数
f(x)=0的解用求根公式得
X=-b+ㄏB^2-4AC/2A
分类讨论当A和B都是奇数的时候当A和B都是偶数的时候
讨论后发现分子的位置上都只可能是奇数,而分母必为偶数
所以一个奇数除以一个偶数不可能得出整数
从而得证

c为奇数
a+b+c为奇数
a+b为偶数
a为奇数b为奇数
或a为偶数b为偶数
对任意整数x,ax^2+bx+c为奇数
所以方程f(x)=0无整数解

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