已知f（x）=(4^x)/(4^x+2) (1）求证：函数y=f（x）的图像关于（1/2.1/2）对称（2）求：f（1/2012）+f（2/2012）+……+f（2011/2012）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/11 16:46:02
已知f（x）=(4^x)/(4^x+2) (1）求证：函数y=f（x）的图像关于（1/2.1/2）对称（2）求：f（1/2012）+f（2/2012）+……+f（2011/2012）
已知f（x）=(4^x)/(4^x+2) (1）求证：函数y=f（x）的图像关于（1/2.1/2）对称
（2）求：f（1/2012）+f（2/2012）+……+f（2011/2012）
已知f（x）=(4^x)/(4^x+2) (1）求证：函数y=f（x）的图像关于（1/2.1/2）对称（2）求：f（1/2012）+f（2/2012）+……+f（2011/2012）
f(x)+f(1-x)
=4^x/(4^x+2)+4^(1-x)/[4^(1-x)+2]
=4^x/(4^x+2)+(4/4^x)/[(4/4^x)+2]
=4^x/(4^x+2)+4/(4+2*4^x)
=4^x/(4^x+2)+2/(2+4^x)
=(4^x+2)/(4^x+2)
=1
后边的就好做了
证明f(1/2-x)+f(1/2+x)=1
可得：(2*4^（1/2-x)+2*4(1/2+x)+8)/(2*4^（1/2-x)+2*4(1/2+x)+8)=1
由第一问的结论得：f(1/2012)+f(2011/2012)=1……以此类推，可以倒序相加：
设Sn=f(1/2012)+f(2/2012)+&……f(2011/2012)
则2Sn=2011
Sn=2011./2
第一问是，设P（x,y）是f（x）上任意一点，则它关于（1/2，1/2）的对称点是Q（x1,y1）,则由对称性可知，（x+x1）/2=1/2，（y+y1）/2=1/2。解得x1=1-x，y2=1-y ，如果函数本身关于点（1/2，1/2）对称，则可知P点关于点（1/2，1/2）的对称点Q在函数图象上，即Q点坐标满足函数关系式，将Q（1-x，1-y ）带入f（x）=(4^x)/(4^x+2)，得1-...
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第一问是，设P（x,y）是f（x）上任意一点，则它关于（1/2，1/2）的对称点是Q（x1,y1）,则由对称性可知，（x+x1）/2=1/2，（y+y1）/2=1/2。解得x1=1-x，y2=1-y ，如果函数本身关于点（1/2，1/2）对称，则可知P点关于点（1/2，1/2）的对称点Q在函数图象上，即Q点坐标满足函数关系式，将Q（1-x，1-y ）带入f（x）=(4^x)/(4^x+2)，得1-y=4^（1-x）/[4^（1-x）+2]，进一步化简可得y=(4^x)/(4^x+2)，与原函数方程相同，所以可知Q点满足原函数方程。所以Q点在原函数上，所以第一问得证。，第二问：由于第一问可知y=f（x）①,而1-y=f（1-x）②，
由①+②得f（x）+f（1-x）=1，观察问题2，可知首尾相加都是1，所以一共有1005个1，这里主要看的是1到2011有多少个数字，也就是可以组成1005个1；中间的f（1006/2012）要单独求，.故问题(2)的结果是1005+f（1/2）=1005+1/2=2011/2
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