函数f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求a的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/11 16:14:55
函数f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求a的值
函数f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求a的值
函数f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3,求a的值
首先配方,原式可以写为y=4(x-a/2)^2-2a+2
抛物线开口向上,即当x=a/2时,f取最小值为-2a+2
若a/2在【0,2】内,则-2a+2=3 => a=-1/2与假设矛盾,除去该可能.
若a/2在（-∞,0）内,则f(0)=a^2-2a+2=3为最小值=> a=1+√2（舍去）a=1-√2
若a/2在（2,+∞）内,则f(2)=a^2-10a+18=3为最小值=> a=5-√3(舍去） a=5+√3
所以,a的值可以为1-√2和5+√3
因为图像开口向上
（1）若a=0 则f(x)=4x^2+2,其对称轴为y轴 ，且在【0，正无穷】上单调增，则当x=0时取得最小值，为2，而不是3，所以a≠0
（2）该函数对称轴为a/2
若a/2≥2，即a≥4，则图像在[0,2]上单调减，并在x=2时取最小值3，即f（2）=3
解得a=5加、减根号10（舍去5减根号10）
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因为图像开口向上
（1）若a=0 则f(x)=4x^2+2,其对称轴为y轴 ，且在【0，正无穷】上单调增，则当x=0时取得最小值，为2，而不是3，所以a≠0
（2）该函数对称轴为a/2
若a/2≥2，即a≥4，则图像在[0,2]上单调减，并在x=2时取最小值3，即f（2）=3
解得a=5加、减根号10（舍去5减根号10）
若a/2小于0，即a＜0，则图像在[0,2]上单调增，并在x=0时取最小值3，即f（0）=3
解得a=1加、减根号2（舍去1加根号2）
若a/2在(0,2]上,即0
综上，a=5加根号10或1减根号2
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