一道北大保送数学题.有个2013规格的正方形数表,每行都等差,每列各数平方后等差,求证:左上（最左上方的数,下同）× 右下=左下×右上
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/04/19 20:51:53
一道北大保送数学题.有个2013规格的正方形数表,每行都等差,每列各数平方后等差,求证:左上（最左上方的数,下同）×右下=左下×右上一道北大保送数学题.有个2013规格的正方形数表,每行都等差,每列各
一道北大保送数学题.有个2013规格的正方形数表,每行都等差,每列各数平方后等差,求证:左上（最左上方的数,下同）× 右下=左下×右上
一道北大保送数学题.
有个2013规格的正方形数表,每行都等差,每列各数平方后等差,求证:左上（最左上方的数,下同）× 右下=左下×右上
一道北大保送数学题.有个2013规格的正方形数表,每行都等差,每列各数平方后等差,求证:左上（最左上方的数,下同）× 右下=左下×右上
设左上,右上,左下,右下的数分别为a,b,c,d,再设数表中心(第1007行1007列)的数为x.
∵各行成等差数列,
∴第1行第1007列的数为(a+b)/2,第2013行第1007列的数为(c+d)/2.
又∵各列平方后成等差数列,
∴2x² = ((a+b)/2)²+((c+d)/2)² ①.
另一方面,∵由各列平方后成等差数列,
∴第1007行第1列的数为√((a²+c²)/2),第1007行第2013列的数为√((b²+d²)/2).
又∵各行成等差数列,
∴2x = √((a²+c²)/2)+√((b²+d²)/2) ②.
由①得8x² = a²+b²+c²+d²+2(ab+cd).
由②得8x² = a²+b²+c²+d²+2√((a²+c²)(b²+d²)).
于是(ab+cd)² = (a²+c²)(b²+d²),即a²b²+c²d²+2abcd = a²b²+c²d²+a²d²+c²b².
也即(ad-bc)² = 0,得ad = bc为所求证.
先证3规格的情形.
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