等腰三角形底边上的任意一点到两条腰上的距离之和等于一条腰上的高特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/15 02:30:45
等腰三角形底边上的任意一点到两条腰上的距离之和等于一条腰上的高特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时
等腰三角形底边上的任意一点到两条腰上的距离之和等于一条腰上的高
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等腰三角形底边上的任意一点到两条腰上的距离之和等于一条腰上的高特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时特急限2小时
这是一道常见的几何证明问题,难度不大,但很经典,证明方法也很多.
已知：等腰三角形ABC中,AB＝AC,BC上任意点D,DE⊥AB,DF⊥AC,BH⊥AC
求证：DE＋DF＝BH
证法一：
连接AD
则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2
而△ABC的面积＝BH*AC/2
所以：DE＋DF＝BH
即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二：
作DG⊥BH,垂足为G
因为DG⊥BH,DF⊥AC,BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH＝DF
因为AB＝AC
所以∠EBD＝∠C
因为GD//AC
所以∠GDB＝∠C
所以∠EBD＝∠GDB
又因为BD＝BD
所以△BDE≌△DBG（ASA）
所以DE＝BG
所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH
证法三：
提示：
过B作直线DF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用三角函数也能进行证明
证明
设三角形为ABC BC为底边，
E为BC上一点,
ED⊥AB EF⊥AC BG,
CH为三角形的高
DE/CH=BE/BC
EF/BG/BC
两者相加
(DE+EF)/CH=(BE+EC)/Bc BE*EC=BC DE+EF=CH
或：用面积方法证明，连AD
△ABC面积=△ABD面积+△ACD面积
全部展开
证明
设三角形为ABC BC为底边，
E为BC上一点,
ED⊥AB EF⊥AC BG,
CH为三角形的高
DE/CH=BE/BC
EF/BG/BC
两者相加
(DE+EF)/CH=(BE+EC)/Bc BE*EC=BC DE+EF=CH
或：用面积方法证明，连AD
△ABC面积=△ABD面积+△ACD面积
AB*h/2=AB*DF/2+AC*DE/2
AB=AC 所以 h=DF+DE
即 DE+DF=h
收起
在底边BC上任取一点为D，设三角形两腰为AB AC
连结AD。过D作DE⊥AB DF⊥AC
△ABD的面积=1/2*DE*AB
△ADC的面积=1/2*DF*AC
因为AB=AC
所以△ABC的面积=△ABD+△ADC=1/2*（DE+DF）*AB
又因为△ABC的面积=1/2*（AB边上的高）*AB
所以AB边上的高=DE+DF
所...
全部展开
在底边BC上任取一点为D，设三角形两腰为AB AC
连结AD。过D作DE⊥AB DF⊥AC
△ABD的面积=1/2*DE*AB
△ADC的面积=1/2*DF*AC
因为AB=AC
所以△ABC的面积=△ABD+△ADC=1/2*（DE+DF）*AB
又因为△ABC的面积=1/2*（AB边上的高）*AB
所以AB边上的高=DE+DF
所以底边上任意一点到两腰距离之和等于一条腰上的高
收起