椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.设直线l与椭圆C交与A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为√3/2,求△AOB面积的最大值.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/01 07:41:59
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.设直线l与椭圆C交与A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为√3/2,求△AOB面积的最大值

椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.设直线l与椭圆C交与A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为√3/2,求△AOB面积的最大值.
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
设直线l与椭圆C交与A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为√3/2,求△AOB面积的最大值.

椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.设直线l与椭圆C交与A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为√3/2,求△AOB面积的最大值.
由于椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1
则:椭圆的焦点在X轴上
由于:短轴一个端点到右焦点的距离为√3
则由图像可知:
b^2+c^2=3=a^2
则:a=√3
又:离心率为√6/3=c/a
则:c=√2,则:b=1
则椭圆C:x^2/3+y^2=1
设直线l:y=kx+b
由于:坐标原点O到直线l的距离d为√3/2
则由点到直线距离公式,得:
d=√3/2=|b|/√[k^2+1]
则:b^2=(3/4)(k^2+1)
由于:直线l与椭圆C交与A,B两点
则设A(x1,y1)B(x2,y2)
则由直线和椭圆相交弦长公式,得:
|AB|
=√[k^2+1]*|x1-x2|
=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
由于:
椭圆C:x^2/3+y^2=1
直线l:y=kx+b
则联立可得:
x^2/3+(kx+b)^2=1
[(1+3k^2)/3]x^2+2kbx+b^2-1=0
由于:A,B为其交点,
则x1,x2为方程的两根
则由韦达定理,得:
x1+x2=-6kb/(1+3k^2)
x1x2=(9k^2-3)/(12k^2+4)
则:
|AB|=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√[k^2+1]*√[36k^2b^2/(3k^2+1)^2-(36k^2-12)/(12k^2+4)]
=√[k^2+1]*√{[27k^2(k^2+1)-3(3k^2-1)(3k^2+1)]/(3k^2+1)^2}
=√{[k^2+1]*[27k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[27k^4+30k^2+3]/[(3k^2+1)^2]}
=√{[3(3k^2+1)^2+4(3k^2+1)-4]/[(3k^2+1)^2]}
=√{3+4/(3k^2+1)-4/[(3k^2+1)^2]}
设:t=1/(3k^2+1) (t属于(0,1])
则:
|AB|=√[3+4t-4t^2]
=√[-4(t-1/2)^2+4]
则当t=1/2时,|AB|取最大值=2
此时k=±√3/3
则:
△AOB面积的最大值
=(1/2)|AB|最大值*d
=(1/2)*2*(√3/2)
=√3/2

∵短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
∴a=√3, e=a/c===>√6/3=√3/c===>c=√2===>b=√(a²-c²)=1
===>x²/3+y²=1
设:左顶点为A,短轴上端点为B,则AO=a=√3,BO=b=1,连结AB,作OM⊥AB,
∵AB=√[(√3)²+1]=2, Rt△AOB∽Rt△A...

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∵短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
∴a=√3, e=a/c===>√6/3=√3/c===>c=√2===>b=√(a²-c²)=1
===>x²/3+y²=1
设:左顶点为A,短轴上端点为B,则AO=a=√3,BO=b=1,连结AB,作OM⊥AB,
∵AB=√[(√3)²+1]=2, Rt△AOB∽Rt△AMO
∴MO/BO=AO/AB===>MO=1*(√3)/2=√3/2, ∴AB为所求直线l
∴△AOB面积的最大值=AB*MO/2=2*(√3/2)/2=√3/2

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因为e=c/a=√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
则a=√3,c=√2.
椭圆方程为:x^2/3+y^2=1.
设直线与椭圆交点坐标为:A(x1,y1)B(x2,y2)
设直线方程为:x=ky+n.
代入椭圆方程化解得:
(k^2+3)y^2+2kny+n^2-3=0,
由韦达定理有:
y1+y2=-2kn/(k^2+3)...

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因为e=c/a=√6/3,短轴一个端点到右焦点的距离为√3.
则a=√3,c=√2.
椭圆方程为:x^2/3+y^2=1.
设直线与椭圆交点坐标为:A(x1,y1)B(x2,y2)
设直线方程为:x=ky+n.
代入椭圆方程化解得:
(k^2+3)y^2+2kny+n^2-3=0,
由韦达定理有:
y1+y2=-2kn/(k^2+3) (1)
y1y2=(n^2-3)/(k^2+3) (2)
由于坐标原点O到直线l的距离为d=√3/2.
则由点到直线距离公式有:
√3/2=|0-k*0-n|/√(k^2+1)
平方化解得:
呢n^2=3/4(k^2+3) (3)
由于三角形面积公式为:S=1/2|AB|*d
而在椭圆中有:
|AB|=√(k^2+1)|y1-y2|
=√(k^2+1)*√[(y1+y2)^2-4y1y2] (4)
将(1)(2)(3)(4)代入面积公式可得
面积S关于k的函数,通过求S值域可求得S最大值。这里就不求了,只是计算问题,掌握方法就行!

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是要求a和b吗?

如何从椭圆的一般方程求椭圆的五个参数已知椭圆一般方程为A*x^2+B*x*y+C*y^2+D*x+E*y+F=0,其中A,B,C,D,E,F,均不为0,现在要去求椭圆的中心坐标(x0,y0),椭圆的长半轴a,椭圆的短半轴b,以及椭圆长半轴与X 定义 离心率e=(根号5-1)/2的椭圆为黄金椭圆 对于椭圆x平方/a平方+y平方/b平方=1(a>b>0).c为椭圆半焦距 如果a.b.c不成等比数列 则椭圆 a.一定是黄金椭圆 b 一定不是黄金椭圆c 可能是黄金椭圆d 可能 已知椭圆C;x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0),其焦距为2c,若c/a=(根号5-1)/2,则称椭圆C为黄金椭圆求证黄金椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0),中,a,b,c成等比数列 椭圆X^2/25+Y^2/9=1与X,Y正半轴交于A,B,C椭圆上一点,四边形OACB最大值 已知椭圆C:x.x/a.a+y.y/b.b=1的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为√2/2b 求椭圆C的离心率? 椭圆与圆b/2+c有四个公共点,则椭圆的离心率范围椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与圆x^2+Y^2=(b/2+c)^2有四个公共点(其中c^2=a^2-b^2,c>0),则椭圆的离心率范围是? 已知三角形ABC的顶点B.C在椭圆x^2/3+y^2=1 上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上...已知三角形ABC的顶点B.C在椭圆x^2/3+y^2=1 上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的半焦距为c,若点(c,2c)在椭圆上,则椭圆的离心率e 若斜率为1的直线与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)相交,且点(0,-1)在椭圆C上,求椭圆C的方程. 设F1F2分别为椭圆C:x^/a^+y^/b^=1(a>b>0)的左右两焦点(1)求椭圆C的焦距(2)如果向量AF2=2向量F2B,求椭圆C的方程 椭圆C的方程为y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0),A是椭圆c的短轴左顶点,过A作斜率为-1...椭圆C的方程为y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0),A是椭圆c的短轴左顶点,过A作斜率为-1的直线交椭圆为B点,点P(1,0),且BP平行于y轴,三 一道高二数学椭圆题已知直线l:y=x+k经过椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>1)的右焦点F2且与椭圆C交于A、B两点,若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1,求椭圆C的方程.写出步骤. 已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),直线l1:x/a-y/b=1被椭圆C截得弦长为2√2,过椭圆C的右交点且斜率为√3的直线L2椭圆C截得弦长是椭圆长轴2/5,求椭圆C的方程。 椭圆x^/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点为A,B,C,D,若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率 椭圆b²x² a²y²=a²b²(a>b>0)和圆x² y²=(b椭圆b²x²+a²y²=a²b²(a>b>0)和圆x²+y²=(b/2+c)²有四个交点,其中c为椭圆的半焦距,则椭圆的离 已知c是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1{a>b>0}的半焦距,求{b+C}/a的取值范围? 椭圆a²x²+b²y²=c²(a,b,c>0),其中a=2b,则离心率e= 已知,椭圆C:x²+3y²=3b²(b>0).(1)求椭圆C的离心率 (2)若b=1,AB是椭圆已知,椭圆C:x²+3y²=3b²(b>0).(1)求椭圆C的离心率 (2)若b=1,AB是椭圆C上两点,AB的绝对值等于√3,求A