数学题椭圆方程的题椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=根号2\2,直线y=x=1交椭圆于A、B两点,且△AOB的面积为2\3,求此椭圆的方程

数学题椭圆方程的题椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=根号2\2,直线y=x=1交椭圆于A、B两点,且△AOB的面积为2\3,求此椭圆的方程
数学题椭圆方程的题
椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=根号2\2,直线y=x=1交椭圆于A、B两点,且△AOB的面积为2\3,求此椭圆的方程

数学题椭圆方程的题椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=根号2\2,直线y=x=1交椭圆于A、B两点,且△AOB的面积为2\3,求此椭圆的方程
直线y=x=1交椭圆于A、B两点是直线y=x+1交椭圆于A,B两点吧?
椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,设椭圆方程为
x^2/a^2+y^2/b^2=1
又由离心率e=根号2\2可知
c^2=1/2*a^2
从而 b^2=1/2*a^2
即椭圆方程为
x^2+2*y^2=a^2
直线y=x+1交椭圆于A,B两点,则
x^2+2*(x+1)^2=a^2
即 3*x^2+4*x+(2-a^2)=0
由韦达定理得
x1+x2=-4/3,x1*x2=(2-a^2)/3
从而得 (y1-y2)^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2=(3*a^2+10)/9
而坐标原点O到直线y=x+1距离为1/√2
再由三角形AOB的面积为2/3得
1/2*1/√2*√2*√((3*a^2+10)/9)=2/3
解得 a=√2
从而椭圆方程为
x^2/2+y^2=1