求a^2 + 1/ab + 1/a(a-b)最小值

求a^2 + 1/ab + 1/a(a-b)最小值
求a^2 + 1/ab + 1/a(a-b)最小值

求a^2 + 1/ab + 1/a(a-b)最小值
因为1/a(a-b)
所以a不等于b
a^2 + 1/ab + 1/a(a-b)
=a^2 + {(a-b)+b}/ab(a-b)
=a^2 + 1/b(a-b)
然后用换元法
设a-b=y,b=x
1/xy+(x+y)的平方=x^2+y^2+2xy+1/xy大于等于2xy+2xy+1/xy
=4xy+1/xy大于等于4（基本不等式：a^2+b^2大于等于2ab）
当且仅当xy=1/2且x=y时取得最小值4,a=根号2,b=二分之根号2

a2+1/ab+1/a(a-b)= ab+1/ab+a(a-b)+1/a(a-b)≥4
当且仅当 ab=1/ab,a(a-b)=1/a(a-b)取等号
即 a=√2,b=√2/2取等号．
∴ a2+1/ab+1/a(a-b)的最小值为4