已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列：ak1,ak2,…,akn,恰为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+2k2+3k3+…+nkn．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/14 09:36:47
已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列：ak1,ak2,…,akn,恰为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+2k2+3k3+…+nkn．
已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列：ak1,ak2,…,akn,恰为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+2k2+3k3+…+nkn．
已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列：ak1,ak2,…,akn,恰为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+2k2+3k3+…+nkn．
下面用到的a^2表示a的平方.a^(b+c)表示a的b+c次方
由题意有
a1×a17=a5^2
即 a1×(a1+16d)=(a1+4d)^2 化简后得到 a1=2d
不妨令d=1 得到a1=2
于是a1=2 a5=6 a17=18 a1,a5,a17三者确实是等比关系,切首相为2,公比为3.
于是接下来的相可以推得依次为 a53=54 为第四相 a161=162为第五项 以此类推
可以得到 k1=1=2-1 k2=5=2×3-1 k3=17=2×3^2-1 k4=53=2×3^3-1
因此 不难看出kn=2×3^(n-1)-1 (如果楼主觉得不保险可以用数学归纳法去证明)
于是
k1+2k2+3k3+...+nkn
=(2-1)+2(2×3-1)+3(2×3^2-1)+4(2×3^3-1)+...+n(2×3^(n-1)-1)
=2+2(2×3)+3(2×3^2)+4(2×3^3)+5(2×3^4)+...+n(2×3^(n-1))-(1+2+3+4+5+...+n)
减号后面的括号里是自然数列的和,你自己去算.下面教前面数列的算法.
令
Sn=2+2(2×3)+3(2×3^2)+4(2×3^3)+5(2×3^4)+...+n(2×3^(n-1)) A式
3Sn=2×3+2(2×3^2)+3(2×3^3)+4(2×3^4)+...+n(2×3^n) B式
A-B得到
-2Sn=2+2×3+2×3^2+2×3^3+2×3^4+2×3^5+...+2×3^(n-1)-n(2×3^n)
上式两边同时除以-2得到
Sn=n×3^n-(1+3+3^2+3^3+3^4+...+3^(n-1))
减号后面的括号里为等比数列,求和自己去套公式
综上就可以求得k1+2k2+3k3+…+nkn
做的不容易,有点爱心就送积分意思意思.
（n-1/2）3^n-1/2(n²+n-1)
上面的解答也太复杂了吧，看哥给你来个简单的：
a1,a5,a17为等比数列嘛
a5^2=a1*a17解得a1=2d
1)由已知得(a5)^2=a1(a17)得(a1+4d)^2=a1(a1+16d)化简得a1=2d
所以a1=2d,a5=6d,a17=18d,这个等比数列公比为3
所以akn=2d·3^(n-1)而akn是等差数列的第kn项，所以得
2d·3^(n-1)=2d+(kn-1)d得kn=2·3^(n-1)-1
2)Tn=2·3^0-1+2·3^1-1+2·3^2-1+...
全部展开
1)由已知得(a5)^2=a1(a17)得(a1+4d)^2=a1(a1+16d)化简得a1=2d
所以a1=2d,a5=6d,a17=18d,这个等比数列公比为3
所以akn=2d·3^(n-1)而akn是等差数列的第kn项，所以得
2d·3^(n-1)=2d+(kn-1)d得kn=2·3^(n-1)-1
2)Tn=2·3^0-1+2·3^1-1+2·3^2-1+……+2·3^(n-1)-1
=2·3^0+2·3^1+2·3^2+……+2·3^(n-1)-n
3Tn=2·3^1+2·3^2+2·3^3+……+2·3^(n-1)+2·3^n-3n
两式相减得2Tn=2·3^n-2n-2
故得Tn=3^n-n-1
收起