如图1,等腰梯形OABC的底边OC在x轴上,AB∥OC,O为坐标原点,OA = AB =BC,∠AOC=60°,连接OB,点P为线段OB上一个动点,点E为边OC中点.（1）连接PA、PE,求证：PA=PE；（2）连接PC,若PC+PE= ,试求AB的最大值；

如图1,等腰梯形OABC的底边OC在x轴上,AB∥OC,O为坐标原点,OA = AB =BC,∠AOC=60°,连接OB,点P为线段OB上一个动点,点E为边OC中点.（1）连接PA、PE,求证：PA=PE；（2）连接PC,若PC+PE= ,试求AB的最大值；
如图1,等腰梯形OABC的底边OC在x轴上,AB∥OC,O为坐标原点,OA = AB =BC,∠AOC=60°,
连接OB,点P为线段OB上一个动点,点E为边OC中点.
（1）连接PA、PE,求证：PA=PE；
（2）连接PC,若PC+PE= ,试求AB的最大值；

如图1,等腰梯形OABC的底边OC在x轴上,AB∥OC,O为坐标原点,OA = AB =BC,∠AOC=60°,连接OB,点P为线段OB上一个动点,点E为边OC中点.（1）连接PA、PE,求证：PA=PE；（2）连接PC,若PC+PE= ,试求AB的最大值；
注意到如果设OA=AB=BC=a,则OC=2a
第一问其实要证OB为AE的垂直平分线,只须证明四边形OABE为菱形即可
第二问中PC+PE=PC+PA=b固定,P在OB与AC交点处可使梯形达到最大,此时a=b

（1）证明：如图1，连接AE.
…………………………………………………………5分

(2)∵PC+PE= ，∴PC+PA= .
显然有OB=AC≤PC+PA= .……………7分
在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB= ，
∴ ≤ ，∴ ≤2.
即AB的最大值为2. …………………………10分
...

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（1）证明：如图1，连接AE.
…………………………………………………………5分

(2)∵PC+PE= ，∴PC+PA= .
显然有OB=AC≤PC+PA= .……………7分
在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB= ，
∴ ≤ ，∴ ≤2.
即AB的最大值为2. …………………………10分
(3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.
分三种情况讨论：
①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△MNC为钝角三角形.
过N作NF⊥x轴，垂足为F，
∵A点坐标为（1， ），∴ 可设N点坐标为（ ， ），则DF=a－m，NF= ，FC=4－a. ∵△OMD∽△FND∽△FCN， ∴ .
解得， ，即当0< < 时，△MNC为钝角三角形；…14分
②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；………………15分

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