已知圆C：X^2+Y^2-2X+4Y-4=0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kX-1对称,且以AB为直径的圆经过原点?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/02 08:17:06
已知圆C：X^2+Y^2-2X+4Y-4=0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kX-1对称,且以AB为直径的圆经过原点?
已知圆C：X^2+Y^2-2X+4Y-4=0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kX-1对称,且以AB为直径的圆经过原点?
已知圆C：X^2+Y^2-2X+4Y-4=0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kX-1对称,且以AB为直径的圆经过原点?
圆C：(x-1)²+(y-2)²=9, 圆心C(1,2)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∵直线y=kx-1垂直平分AB
∴直线y=kx-1过圆心,
把C(1,-2)代入,得k=-1
∵AB与直线y=kx-1垂直
∴K(AB)=1,
设AB：y=x+b
联立：
y=x+b
x²+y²-2x+4y-4=0
得：2x²+(2+2b)x+b²+4b-4=0 …………①
x1x2=(b²+4b-4)/2, x1+x2= -b-1
y1y2
=(x1+b)(x2+b)
=x1x2 + b(x1+x2) + b²
=(b²+4b-4)/2 - b² - b + b²
=(b²+2b-4)/2
∵以AB为直径的圆经过原点O
∴向量OA⊥向量OB
∴x1x2+y1y2=0
即(b²+4b-4)/2 + (b²+2b-4)/2 =0
即b²+3b-4=0
b=-4或1
∴AB：y=x-4或y=x+1
把b=-4代入①式中,得
x= (3±√17)/2
∴A((3+√17)/2,(√17-5)/2),B((3-√17)/2,-(√17+5)/2)
把b=1代入①式中,得
x= (-2±√2)/2
∴A((-2+√2)/2,√2/2),B((-2-√2)/2,-√2/2)
综上,A((3+√17)/2,(√17-5)/2),B((3-√17)/2,-(√17+5)/2)
或A((-2+√2)/2,√2/2),B((-2-√2)/2,-√2/2)
∴存在.
(x-1)^2+(y+2)^2=3^2
A,B关于直线对称，AB是圆的弦，所以直线经过圆心
带入得到-2=k-1, k=-1
假设以A,B为直径的圆经过原点，所以圆心（AB中点）的坐标（m,n）满足方程m^2+n^2=|AB|^2/4
并且m,n在直线y=-x-1上，有n=-m-1
因为AB的方程是y-n=x-m代入圆方程
得到2x^2+2(n-m...
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(x-1)^2+(y+2)^2=3^2
A,B关于直线对称，AB是圆的弦，所以直线经过圆心
带入得到-2=k-1, k=-1
假设以A,B为直径的圆经过原点，所以圆心（AB中点）的坐标（m,n）满足方程m^2+n^2=|AB|^2/4
并且m,n在直线y=-x-1上，有n=-m-1
因为AB的方程是y-n=x-m代入圆方程
得到2x^2+2(n-m+1)x+m^2+n^2-4m+4n-2mn-4=0
得到|AB|^2=2[(x1+x2)^2-4x1x2]=(n-m+1)^2-4(m^2+n^2-4m+4n-2mn-4)/2=4(m^2+n^2)
解方程得到m=-1或3/2，相应的n=0或-5/2
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