已知,如图在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.求证:BD²=AB²+B
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/09 11:50:40
已知,如图在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.求证:BD²=AB²+B
已知,如图在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.求证:BD²=AB²+B 
已知,如图在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.求证:BD²=AB²+B
证明:
连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°
则△ACD是等边三角形.
过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE
则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60°
∴△BCE是正三角形,
又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60°
∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60°
∴∠ACE=∠DCB
又DC=AC,BC=CE
所以△DCB≌△ACE
所以AE=BD
在直角三角形ABE中AE^2=AB^2＋BE^2
即BD^2=AB^2＋BC^2
因为 AD=DC
所以 把三角形ADB绕点D旋转至三角形CDE，连接BE
所以 CE=AB，DE=BD，角ECD=角BAD，角EDC=角BDA
因为 角ABC=30°，角ADC=60°
所以 角BCD+角BAD=360-30-60=270度
因为 角ECD=角BAD
所以 角BCD+角ECD=270度
所以 角BCE=360-270=90度<...
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因为 AD=DC
所以 把三角形ADB绕点D旋转至三角形CDE，连接BE
所以 CE=AB，DE=BD，角ECD=角BAD，角EDC=角BDA
因为 角ABC=30°，角ADC=60°
所以 角BCD+角BAD=360-30-60=270度
因为 角ECD=角BAD
所以 角BCD+角ECD=270度
所以 角BCE=360-270=90度
所以 BE^2=CE^2+BC^2
因为 CE=AB
所以 BE^2=AB^2+BC^2
因为 角EDC=角BDA
所以 角BDE=角ADC=60度
因为 DE=BD
所以 三角形BDE是等边三角形
所以 BE=BD
因为 BE^2=AB^2+BC^2
所以 BD^2=AB^2+BC^2
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再急也得把题目打完整啊！试试吧。
在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB×ADcosA,
在△CBD中，BD²=BC²+CD²-2BC×CDcosC=BC²+CD²-2BC×CDcos(3π/2-A)=BC²+CD²+2BC×CDsinA=BC²+AD²+2...
全部展开
再急也得把题目打完整啊！试试吧。
在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB×ADcosA,
在△CBD中，BD²=BC²+CD²-2BC×CDcosC=BC²+CD²-2BC×CDcos(3π/2-A)=BC²+CD²+2BC×CDsinA=BC²+AD²+2BC×ADsinA,
两式相加得2BD²=AB²+BC²+2AD²+2AD(BCsinA-ABcosA)
稍后。
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