设函数f(x)对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y) 且x大于零时f(X)小于零,f(1)=-2 ①求证f(x)是奇函数.②判断f(x）的单调性 ③在{-3,3}之间是否有最值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/08 15:02:15
设函数f(x)对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y) 且x大于零时f(X)小于零,f(1)=-2 ①求证f(x)是奇函数.②判断f(x）的单调性 ③在{-3,3}之间是否有最值
设函数f(x)对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y) 且x大于零时f(X)小于零,f(1)=-2 ①求证f(x)是奇函数.②判断f(x）的单调性 ③在{-3,3}之间是否有最值
设函数f(x)对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y) 且x大于零时f(X)小于零,f(1)=-2 ①求证f(x)是奇函数.②判断f(x）的单调性 ③在{-3,3}之间是否有最值
(1)、设x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0;再设y=-x,代入得:f(0)=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x),即函数为奇函数.
(2)、设x2>x1,则有f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),又x2-x1>0,则f(x2-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0,函数为单调递减函数.
(3)、因为函数为奇函数且单调递减,则函数有最值,f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,由单调性得f(-3)=6,为最大值,f(3)=-6为最小值.
1.
f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) = 2f(0) → f(0) = 0
f(-x) = f(x-x-x) = f(x) + f(-x) + f(-x) → f(x) + f(-x) = 0
故f(x)是奇函数
2.
设0≤x≤y≤3
f(y) = f(x+t) = f(x) + f(t) ≤ f(x)，再结合奇...
全部展开
1.
f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) = 2f(0) → f(0) = 0
f(-x) = f(x-x-x) = f(x) + f(-x) + f(-x) → f(x) + f(-x) = 0
故f(x)是奇函数
2.
设0≤x≤y≤3
f(y) = f(x+t) = f(x) + f(t) ≤ f(x)，再结合奇偶性可知f(x)在-3≤x≤3上是单调递减函数，所以最大值为f(-3)，最小值为f(3)。
f(3) = f(1+1+1) = 3f(1) = -6
f(-3) = -f(3) = 6
收起