求1/(n+1)+1/(n+2)+……1/(n+n)的极限(不用定积分)

求1/(n+1)+1/(n+2)+……1/(n+n)的极限(不用定积分)
求1/(n+1)+1/(n+2)+……1/(n+n)的极限(不用定积分)

求1/(n+1)+1/(n+2)+……1/(n+n)的极限(不用定积分)
可以用调和级数的有限项的值为ln(n+1)+r ,r为欧拉常数
1+1/2+1/3+.1/n=ln(n+1)+r
1+1/2+1/3+.1/2n=ln(2n+1)+r
两者相减得
1/(n+1)+1/(n+2)+...1/2n=ln(2n+1)-ln(n+1)=ln[(2n+1)/(n+1)]
取极限得结果为ln2

根据Euler对调和级数和公式的证明（可参见http://baike.baidu.com/view/1179291.htm）有：
1+1/2+...+1/n=ln(n+1)+r(n)
1+1/2+...+1/(n+n)=ln(2n+1)+r(2n)
两式相减即得：1/(n+1)+...+1/(n+n)=ln(2n+1)-ln(n+1)+r(2n)-r(n) (*)...

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根据Euler对调和级数和公式的证明（可参见http://baike.baidu.com/view/1179291.htm）有：
1+1/2+...+1/n=ln(n+1)+r(n)
1+1/2+...+1/(n+n)=ln(2n+1)+r(2n)
两式相减即得：1/(n+1)+...+1/(n+n)=ln(2n+1)-ln(n+1)+r(2n)-r(n) (*)
其中r(n)为Euler常数，且Euler已证明在n->无穷时r(n)->常数.
故n->无穷时，(*)=ln(2n+1)-ln(n+1)=ln((2n+1)/(n+1))=ln2

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