如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC（图中点M没标）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/03 20:33:53
如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC（图中点M没标）
如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC
（图中点M没标）
如图,已知AB=AC,AD=AE,角BAC=角DAE=90°,M是BE中点,试说明AM⊥DC（图中点M没标）
很明显,∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝90°－∠CAD＝∠DAE－∠CAD＝∠CAE.
∵向量AM＝向量AB＋向量BM, 向量AM＝向量AE＋向量EM＝向量AE－向量ME,
∴2向量AM＝向量AB＋向量AE＋（向量BM－向量ME）
∵M是BE的中点,∴向量BE＝向量ME,∴2向量AM＝向量AB＋向量AE······①
而向量CD＝向量AC－向量AD······②
①②相乘,得：
2向量AM·向量CD＝向量AB·向量AC－向量AB·向量AD＋向量AE·向量AC－向量AE·向量AD,
∵AB⊥AC,AD⊥AE,∴向量AB·向量AC＝0,向量AE·向量AD＝0,
∴2向量AM·向量CD＝向量AE·向量AC－向量AB·向量AD
＝｜向量AE｜·｜向量AC｜cos∠CAE－｜向量AB｜·｜向量AD｜cos∠BAD
∵AB＝AC,AD＝AE,∴｜向量AB｜＝｜向量AC｜,｜向量AD｜＝｜向量AE｜,
又∠BAD＝∠CAE,∴2向量AM·向量CD＝0,∴向量AM与向量CD垂直,即：AM⊥CD.
如上图，先做以AB=R1为半径的圆1，以AD=R2为半径作圆2(便于理解) 以A点为原点，作直角坐标系，设角BAD=β，角CAE=α， 因为β+角CAD=角BAC=90度，α+角CAD=角DAE=90度 所以α=β， 于是，A点坐标（0，0），B（-R1sinα,-R1cosα）, C(R1cosα,-R1sinα),D(0,-R2),E(R2,0) 所以BE的中点M的坐标为（（R2-R1sinα）/2，-R1cosα/2）, 得向量AM=（（（R2-R1sinα）/2，-R1cosα/2）， CD=（- R1cosα，-R2+ R1sinα）， AM*CD=（R2-R1sinα）/2*（- R1cosα）+ （-R1cosα/2）*（-R2+ R1sinα）=0 所以AM垂直于CD
AM于CD的交点为点N,延长AM到F，使MF=AM
∵BM=EM
∴ABFE是平行四边形
∴BF=AE ∠ABF+∠BAE=180°
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠CAD+∠BAE=180°
∴∠ABF=∠CAD
∵BF=AE AD=AE
∴BF=AD
∵AB=AC
∴△ABF ∽△CAD
∴∠B...
全部展开
AM于CD的交点为点N,延长AM到F，使MF=AM
∵BM=EM
∴ABFE是平行四边形
∴BF=AE ∠ABF+∠BAE=180°
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠CAD+∠BAE=180°
∴∠ABF=∠CAD
∵BF=AE AD=AE
∴BF=AD
∵AB=AC
∴△ABF ∽△CAD
∴∠BAF=∠ACD
∵∠BAC=90°
∴∠BAF+∠CAN=90°
∴∠ACD+∠CAN=90°
∴∠ANC=90°
∴AM⊥CD
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