一元二次方程的已知关于x的方程x²-2(m-2）x+m²=0问：是否存在实数m,使方程的两个实数根的平方和等于36.若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/03 05:28:25
一元二次方程的已知关于x的方程x²-2(m-2）x+m²=0问：是否存在实数m,使方程的两个实数根的平方和等于36.若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由
一元二次方程的
已知关于x的方程x²-2(m-2）x+m²=0问：是否存在实数m,使方程的两个实数根的平方和等于36.若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由
一元二次方程的已知关于x的方程x²-2(m-2）x+m²=0问：是否存在实数m,使方程的两个实数根的平方和等于36.若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由
设这两个实数根为a,b则有：
a+b=2(m-2)
ab=m²
如果两个实数根的平方和等于36
那么就有：
a²+b²
=(a+b)²-2ab
=4(m-2)²-2m²
=2m²-16m+16
=36
整理可得：
m²-8m-10=0
解这个方程得：
m=4±√26
要使方程x²-2(m-2）x+m²有实数根
则要△＝-16m+16≥0
解得：m≤1
所以当m=4+√26原方程无解
所以存在这样的数且m=4-√26
设方程的两个根分别是a和b，由韦达定理可以知道：a+b=2（m-2）.
由题意可知，（a+b）²=36.
所以，4（m-2）²=36.
（m-2）²=9.
即，m-2=±3.
m=5或m=—1
△=4(m-2)²-4m²＞0，解得m＜1
x1+x2=2m-4
x1*x2=m²
（x1+x2）²-2x1*x2=36
得m²-8m-10=0
（m-4）²=26
m=4-根号26
根据韦达定理(一元二次方程ax^2+bx+c=0中,两根x1,x2有如下关系: x1+ x2=-b/a x1·x2=c/a.)
得：x1+x2=2(m-2) x1·x2=m∧2
（x1+x2)∧2－2(x1·x2)=(x1)∧2+(x2)∧2+2(x1·x2)-2(x1·x2)
=(x1)∧2...
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根据韦达定理(一元二次方程ax^2+bx+c=0中,两根x1,x2有如下关系: x1+ x2=-b/a x1·x2=c/a.)
得：x1+x2=2(m-2) x1·x2=m∧2
（x1+x2)∧2－2(x1·x2)=(x1)∧2+(x2)∧2+2(x1·x2)-2(x1·x2)
=(x1)∧2+(x2)∧2
=【2（m—2）】∧2－(2m)∧2
=4m∧2+16-16m-2m∧2
=2m∧2+16-16m
=m∧2+8-8m
=36÷2＝18
m∧2+8-8m=16
m∧2-8m=8
解得：m=±2√6+4
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