如图所示,在等腰梯形ABCD中,CD//AB,对角线AC,BD相交于O,∠ACD=60度,点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点..若△PQS面积与△AOD的面积的比是4：5,求梯形上下两底的比CD:AB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/09 17:48:02
如图所示,在等腰梯形ABCD中,CD//AB,对角线AC,BD相交于O,∠ACD=60度,点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点..若△PQS面积与△AOD的面积的比是4：5,求梯形上下两底的比CD:AB
如图所示,在等腰梯形ABCD中,CD//AB,对角线AC,BD相交于O,∠ACD=60度,点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点.
.若△PQS面积与△AOD的面积的比是4：5,求梯形上下两底的比CD:AB
如图所示,在等腰梯形ABCD中,CD//AB,对角线AC,BD相交于O,∠ACD=60度,点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点..若△PQS面积与△AOD的面积的比是4：5,求梯形上下两底的比CD:AB
见图,ABCD是等腰梯形,∠ACD=60°,所以有△DCO和△ABO都是等边三角形；
△AOD中,S、P分别是OD和OA的中点,可知SP=AD/2,SP//AD.
过点O、C、Q、B作AD的平行线(也与SP平行),如图,构成了6条平行线组成的平行线束：
记AD与SP的距离为H1,
记SP与过点O的平行线的距离为H2,
记过点O、C的平行线的距离为H3,
记过点C、Q的平行线的距离为H4,
记过点Q、B的平行线的距离为H5；
由于S、P分别是OD和OA的中点,所以H1=H2；
由于Q是BC的中点,所以H4=H5.
而：
△AOD的面积S1=AD×(H1+H2)/2=AD×H1
△PQS的面积S2=SP×(H2+H3+H4)/2=AD×(H1+H3+H4)/4
根据条件：S2:S1=4:5,即：(H1+H3+H4):H1=16:5,即：H3+H4=H1×11/5
而：
CD:AB=(H1+H2+H3):(H1+H2+H3+H4+H5)=(2×H1+H3):(2×H1+H3+2×H4)
同时：
CD:AB=OD:OB=(H1+H2):(H3+H4+H5)=(2×H1):(H3+2×H4)
即有：
设m=CD:AB=(2×H1+H3):(2×H1+H3+2×H4)=(2×H1):(H3+2×H4)
=[(2×H1+H3)-(2×H1)]:[(2×H1+H3+2×H4)-(H3+2×H4)]
=(H3):(2×H1)
有H3=2×m×H1,H4=H1×(1-m^2)/m
所以：2×m×H1+H1×(1-m^2)/m=H1×11/5
即：m+1/m=11/5
解得CD:AB=m=(11±√21)/10
两个答案均可,一个是CD<AB的情形(图中的情形),一个是CD>AB的情形.