如何比较log5 6和log7 8的大小比较以5为底6的对数和以7为底8的对数的大小

如何比较log5 6和log7 8的大小比较以5为底6的对数和以7为底8的对数的大小
如何比较log5 6和log7 8的大小
比较以5为底6的对数和以7为底8的对数的大小

如何比较log5 6和log7 8的大小比较以5为底6的对数和以7为底8的对数的大小
如何比较log₅6和log₇8的大小
log₅6=log₅(1.2×5）＝log₅5+log₅1.2=1+log₅1.2；
log₇8=log₇(1.143×7）＝log₇7+log₇1.143=1+log₇1.143；
由于log₅1.2>log₇1.2>log₇1.143；
(当两个对数的底数都大于1时：真数相同时,底大则对数小；底数相同时,真数大的对数也大.)
∴log₅6>log₇8.

令y＝㏒(x)（x＋1）＝ln（x＋1）/lnx，∴ylnx＝ln（x＋1），∴y′lnx＋y/x＝1/（x＋1），
∴y′lnx＝1/（x＋1）－y/x＝1/（x＋1）－ln（x＋1）/（xlnx），
∴y′
＝［1/（lnx）^2］［lnx/（x＋1）－ln（x＋1）/x］
＝［1/（lnx）^2］［（xlnx－（x＋1）ln（x＋1）］/［x（x＋1）］

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令y＝㏒(x)（x＋1）＝ln（x＋1）/lnx，∴ylnx＝ln（x＋1），∴y′lnx＋y/x＝1/（x＋1），
∴y′lnx＝1/（x＋1）－y/x＝1/（x＋1）－ln（x＋1）/（xlnx），
∴y′
＝［1/（lnx）^2］［lnx/（x＋1）－ln（x＋1）/x］
＝［1/（lnx）^2］［（xlnx－（x＋1）ln（x＋1）］/［x（x＋1）］
＝［1/（lnx）^2］｛x［lnx－ln（x＋1）］－ln（x＋1）｝/［x（x＋1）］
＝－［1/（lnx）^2］｛x［ln（x＋1）－lnx］＋ln（x＋1）｝/［x（x＋1）］。
显然，当x≧5时，1/（lnx）^2＞0、x（x＋1）＞0、x［ln（x＋1）－lnx］＞0，∴此时y′＜0。
∴当x≧5时，y＝㏒(x)（x＋1）是减函数。
∴㏒(5)6＞㏒(7)8。

收起

lg6/lg5)/(lg7/lg6)=(lg²6)/(lg5lg7)
lg5lg7≤(lg5+lg7)²/4=lg²35/4≤4lg²6/4=lg²6
所以lg6/lg5)/(lg7/lg6)≥1
lg6/lg5)≥(lg7/lg6)
同理：
lg7/lg6)≥(lg8/lg7)
所以
lg6/lg5)≥(lg8/lg7）
用对数换底公式得：
log5(6)≥log7(8)

这个确实很难比较
告诉你规律吧
logn(n+1)在(1,+∞)上是递减的
所以有：log5(6)>log6(7)>log7(8)
即：log5(6)>log7(8)

祝开心！希望能帮到你~~