在△ABC中,BA＝BC,∠BAC＝α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/11 15:16:05
在△ABC中,BA＝BC,∠BAC＝α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB
在△ABC中,BA＝BC,∠BAC＝α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.
（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中,点P不与点B、M重合,线段CQ的延长线于射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示）,并加以证明；
（3）对于适当大小的α,当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ＝DQ,请直接写出α的范围.
在△ABC中,BA＝BC,∠BAC＝α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB
（1）∵BA=BC,∠BAC=60°,M是AC的中点,
∴BM⊥AC,AM=MC,
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ,
∴AM=MQ,∠AMQ=120°,
∴CM=MQ,∠CMQ=60°,
∴△CMQ是等边三角形,
∴∠ACQ=60°,
∴∠CDB=30°；
（2）如图2,连接PC,AD,
∵AB=BC,M是AC的中点,
∴BM⊥AC,
∴AD=CD,AP=PC,PD=PD,
在△APD与△CPD中,
AD=CD
PD=PD
PA=PC
∴△APD≌△CPD（SSS）,
∴∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD,
又∵PQ=PA,
∴PQ=PC,∠ADC=2∠1,∠4=∠PCQ=∠PAD,
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°,
∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°,
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α,
∴2∠CDB=180°-2α,
∴∠CDB=90°-α；
（3）如图1,延长BM,CQ交于点D,连接AD,
∵∠CDB=90°-α,且PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α,
∵点P不与点B,M重合,
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD,
∵点P在线段BM上运动,∠BAD最大为2α,∠MAD最大等于α,
∴2α＞180°-2α＞α,
∴45°＜α＜60°．
