设函数f(x)=log2 〔(2x-1)/(2x+1)〕 (x<-1/2或x>1/2) 的反函数为f^-1(x).(1)证明f^-1(x)是奇函数;(2)求f^-1(x)的单调区间.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/01 07:21:26
设函数f(x)=log2 〔(2x-1)/(2x+1)〕 (x<-1/2或x>1/2) 的反函数为f^-1(x).(1)证明f^-1(x)是奇函数;(2)求f^-1(x)的单调区间.
设函数f(x)=log2 〔(2x-1)/(2x+1)〕 (x<-1/2或x>1/2) 的反函数为f^-1(x).
(1)证明f^-1(x)是奇函数;
(2)求f^-1(x)的单调区间.
设函数f(x)=log2 〔(2x-1)/(2x+1)〕 (x<-1/2或x>1/2) 的反函数为f^-1(x).(1)证明f^-1(x)是奇函数;(2)求f^-1(x)的单调区间.
1
若反函数存在,
根据函数性质,若原函数是奇函数,则反函数一定是奇函数.
考察原函数:
f(-x)=log2 〔(-2x-1)/(-2x+1)〕
=log2 〔(2x+1)/(2x-1)〕
=log2 {〔(2x-1)/(2x+1)〕^-1}
= -log2 〔(2x-1)/(2x+1)〕
= -f(x)
而区间关于原点对称,
则说明原函数是奇函数.
则其反函数f^-1(x)也是奇函数
2
根据函数性质,若反函数存在且原函数单调,则反函数的单调性与原函数同.
设a<b<-1/2,
则2a-1<2b-1<-2;2a+1<2b+1<0;
→(2a+1)(2b-1)>0;
a-b<0;
→1+4(a-b)/(4ab-2a+2b-1)<1
而(2a-1)(2b+1)/(2a+1)(2b-1)>0.
则 f(a)-f(b)=log2 〔(2a-1)/(2a+1)〕-log2 〔(2b-1)/(2b+1)〕
=log2 〔(2a-1)(2b+1)/(2a+1)(2b-1)〕
=log2 〔(4ab+2a-2b-1)/(4ab-2a+2b-1)〕
=log2 〔(4ab-2a+2b-1 +4a-4b)/(4ab-2a+2b-1)〕
=log2 〔1+4(a-b)/(4ab-2a+2b-1)〕
由前面分析得知,0<1+4(a-b)/(4ab-2a+2b-1)<1.
则log2 〔1+4(a-b)/(4ab-2a+2b-1)〕<0.
则当x<-1/2时,f(a)-f(b)<0;
f(a)<f(b);说明此时f(x)单调递增;
那么此时f(x)<lim(x→-1/2)f(x)=+∞;
f(x)>lim(x→-∞)f(x)=0.
同理,或由奇偶性可知,当x>1/2时,f(x)单调递增;
此时f(x)>lim(x→1/2)f(x)=-∞;
f(x)<lim(x→+∞)f(x)=0.
由于各单调区间值域不重叠,故f(x)的反函数存在.
则:反函数 f^-1(x)
在x∈(-∞,0)时单调递增;
在x∈(0,+∞)时单调递增;