设函数f(x)=log2 〔(2x-1)/(2x+1)〕 (x<-1/2或x>1/2) 的反函数为f^-1(x).(1)证明f^-1(x)是奇函数;(2)求f^-1(x)的单调区间.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/01 07:21:26
设函数f(x)=log2〔(2x-1)/(2x+1)〕(x<-1/2或x>1/2)的反函数为f^-1(x).(1)证明f^-1(x)是奇函数;(2)求f^-1(x)的单调区间.设函数f(x)=log2

设函数f(x)=log2 〔(2x-1)/(2x+1)〕 (x<-1/2或x>1/2) 的反函数为f^-1(x).(1)证明f^-1(x)是奇函数;(2)求f^-1(x)的单调区间.
设函数f(x)=log2 〔(2x-1)/(2x+1)〕 (x<-1/2或x>1/2) 的反函数为f^-1(x).
(1)证明f^-1(x)是奇函数;
(2)求f^-1(x)的单调区间.

设函数f(x)=log2 〔(2x-1)/(2x+1)〕 (x<-1/2或x>1/2) 的反函数为f^-1(x).(1)证明f^-1(x)是奇函数;(2)求f^-1(x)的单调区间.
1
若反函数存在,
根据函数性质,若原函数是奇函数,则反函数一定是奇函数.
考察原函数:
f(-x)=log2 〔(-2x-1)/(-2x+1)〕
=log2 〔(2x+1)/(2x-1)〕
=log2 {〔(2x-1)/(2x+1)〕^-1}
= -log2 〔(2x-1)/(2x+1)〕
= -f(x)
而区间关于原点对称,
则说明原函数是奇函数.
则其反函数f^-1(x)也是奇函数
2
根据函数性质,若反函数存在且原函数单调,则反函数的单调性与原函数同.
设a<b<-1/2,
则2a-1<2b-1<-2;2a+1<2b+1<0;
→(2a+1)(2b-1)>0;
a-b<0;
→1+4(a-b)/(4ab-2a+2b-1)<1
而(2a-1)(2b+1)/(2a+1)(2b-1)>0.
则 f(a)-f(b)=log2 〔(2a-1)/(2a+1)〕-log2 〔(2b-1)/(2b+1)〕
=log2 〔(2a-1)(2b+1)/(2a+1)(2b-1)〕
=log2 〔(4ab+2a-2b-1)/(4ab-2a+2b-1)〕
=log2 〔(4ab-2a+2b-1 +4a-4b)/(4ab-2a+2b-1)〕
=log2 〔1+4(a-b)/(4ab-2a+2b-1)〕
由前面分析得知,0<1+4(a-b)/(4ab-2a+2b-1)<1.
则log2 〔1+4(a-b)/(4ab-2a+2b-1)〕<0.
则当x<-1/2时,f(a)-f(b)<0;
f(a)<f(b);说明此时f(x)单调递增;
那么此时f(x)<lim(x→-1/2)f(x)=+∞;
f(x)>lim(x→-∞)f(x)=0.
同理,或由奇偶性可知,当x>1/2时,f(x)单调递增;
此时f(x)>lim(x→1/2)f(x)=-∞;
f(x)<lim(x→+∞)f(x)=0.
由于各单调区间值域不重叠,故f(x)的反函数存在.
则:反函数 f^-1(x)
在x∈(-∞,0)时单调递增;
在x∈(0,+∞)时单调递增;

设函数f(x)=log2(2x)(1/16 高中设函数f(X)=log2(a^x-b^x),且f(1)=1 f(2)=log2(12),p为何值时,函数g(x)=log2(a^x-b^x+p)与x无交点设函数f(x)=log2(a^x-b^x),且f(1)=1 f(2)=log2(12),p为何值时,函数g(x)=log2(a^x-b^x+p)与x轴无交点. 已知函数f(x)=log2^ ( x/4 ) ×log2^ (2x) (1)解不等式f(x)>0;(2)当x∈【1,4】时,求f(x)的值域f(x)=log2(2x)×log2(x/4)=[(log2 2)+(log2 x)] ×[(log2 x) -(log2 4)]=[1+(log2 x)] ×[(log2 x) -2]=(log2 x)² - (log2 x) -2 设函数f(x)=log2(4x)*log2(2x) 1/4 设函数f(x)=log2(4x)*log2(2x) 1/4 设函数f(x)=x^2-x+b,且满足f(log2(a)=b,log2[f(a)]=2(a>0,a不等于1),求f(log2(x)的最小值及对应的x的 设函数f(x)=2^x有反函数f^-1(x),g(x)=log2为底(3x+1)1)若f^-1(x) 设函数f(x)=1+f(1/x)log2 x,则f(2)=? 为什么log2((x+1)²/x)=log2(x+1/x+2)这是原题:设函数f(x)=log2x-2log2(x+1),则f(x)的定义域是多少?最大值是多少?定义域x>0且x+1>0∴x>0f(x)=log2x-2log2(x+1)=log2x-log2(x+1)²=log2(x/(x+1)²)【=-log2(( 设函数f(x)=log2x+log2(1-x), f(x)的最大值是我知道答案是 ∵函数f(x)=log2x+log2(1-x) =log2[x(1-x)]≤-2 ∴f(x)的最大值是-2, 可是我不知道=log2[x(1-x)]≤-2这部是怎么来的 f(x)=log2(1+x)+log2(1+x) 判断函数f(x)的奇偶性 设函数f(x)=x^2-x+b,且满足f(log2(a)=b,log2[f(a)]=2(a>0,a不等于1) 求f(log2(x)的最小值及对应的x值若f(log2 x)>f(1),且log2f(x)<f(1),求x的取值范围 求函数表达式设二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(0,1)和(1,4),且对于任意实数x,不等式f(x)≥4x恒成立.① 求函数f(x)的表达式;②设g(x)=kx+1,若F(x)=log2(g(x)-f(x))在区间〔1,2〕上是增函 设函数f(x)=log2 〔(2x-1)/(2x+1)〕 (x<-1/2或x>1/2) 的反函数为f^-1(x).(1)证明f^-1(x)是奇函数;(2)求f^-1(x)的单调区间. 设函数f(x)=log2^x-logx^2(0 设f(log2 X)=2^x,则f(2log2 3)= 设函数f(x)=log2(4x)*log2(2x),1/4≤x≤4 若t=log2x求t范围 求f(x)最值写出对应的x值 设函数f(x)=log2(4x)*log2(2x),1/4≤x≤4 若t=log2x求t范围 求f(x)最值写出对应的x值