已知α1,α2,…αm线性无关,证明向量组α1-αm,α2-αm…αm-1-αm也线性无关
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/05/22 00:41:43
已知α1,α2,…αm线性无关,证明向量组α1-αm,α2-αm…αm-1-αm也线性无关
已知α1,α2,…αm线性无关,证明向量组α1-αm,α2-αm…αm-1-αm也线性无关
已知α1,α2,…αm线性无关,证明向量组α1-αm,α2-αm…αm-1-αm也线性无关
证明:设 k1(α1-αm)+k2(α2-αm)+…+km-1(αm-1-αm)=0.
则 k1α1+k2α2+…+km-1αm-1-(k1+k2+...+km-1)αm=0.
由已知 α1,α2,…αm线性无关
所以 k1=k2=...=km-1=k1+k2+...+km-1=0
所以 k1=k2=...=km-1=0.
所以 α1-αm,α2-αm…αm-1-αm 线性无关.
设A= (α1,α2,…αm)
B=(α1-αm,α2-αm…αm-1-αm)
则 B=AC
其中C=(1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
.....
0 0 0 ... 1
...
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设A= (α1,α2,…αm)
B=(α1-αm,α2-αm…αm-1-αm)
则 B=AC
其中C=(1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
.....
0 0 0 ... 1
-1 -1 -1 ... -1)
由于A组线性无关,为列满秩向量
故R(B)=R(C)=m-1
即B组线性无关
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