我算的最后是小于,答案上是小于等于,已知函数f（x）=-x^2+ax-lnx.若f（x）在（0,1/2)上是减函数,求a的取值范围;
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/09 10:44:00
我算的最后是小于,答案上是小于等于,已知函数f（x）=-x^2+ax-lnx.若f（x）在（0,1/2)上是减函数,求a的取值范围;
我算的最后是小于,答案上是小于等于,
已知函数f（x）=-x^2+ax-lnx.若f（x）在（0,1/2)上是减函数,求a的取值范围;
我算的最后是小于,答案上是小于等于,已知函数f（x）=-x^2+ax-lnx.若f（x）在（0,1/2)上是减函数,求a的取值范围;
先对f（x）求导,f'(x)=-2x+a-1/x,
f（x）在（0,1/2)上是减函数,
则f'(x)＜0【取等号的原因就是说明函数在（0,1/2)不是严格的单调减函数,是常函数】.
即有-2x+a-1/x＜0,
则a＜2x+1/x,
设g(x)=2x+1/x,使得a小于g（x）的最小值就行了
g'(x)=2-1/x²=(2x²-1)/x²>0, x>√2/2
g'(x)<0,得到0
故在(0,1/2)上是↓,所以g(x) 的最小值是g(1/2)=2*1/2+2=3
由于x去不到1/2,则g（x）取不到3.所以g（x）＞3.
故a<2x+1/x,就要使得a小于2x+1/x的最小值（大于3的）
则a<=3.
函数f（x）是减函数的充要条件是f'(x)=<0,f'(x)<0是函数f（x）是减函数的充分条件
本题利用导数的意义来求解
函数f（x）=-x^2+ax-lnx。若f（x）在（0，1/2)上是减函数
所以f(x)的导数在（0，1/2)为小于等于0
所以f'(x)=-2x+a-1/x在（0，1/2)为小于等于0
所以f'(x)在（0，1/2)的最大值小于等于0
令T(x)=-2x+a-1/x
先判定T(x)在（0，1/2)的单调性
因为T'...
全部展开
本题利用导数的意义来求解
函数f（x）=-x^2+ax-lnx。若f（x）在（0，1/2)上是减函数
所以f(x)的导数在（0，1/2)为小于等于0
所以f'(x)=-2x+a-1/x在（0，1/2)为小于等于0
所以f'(x)在（0，1/2)的最大值小于等于0
令T(x)=-2x+a-1/x
先判定T(x)在（0，1/2)的单调性
因为T'(x)=-2+1/x^2在（0，1/2)恒大于0
所以T(x)在（0，1/2)为增函数
所以T(x)max=T(1/2)=-2*(1/2)+a-1/(1/2)=-3+a
T(x)=f'(x)
所以f'(x)max=-3+a≤0
解得：a≤3
所以a的取值范围a≤3
收起
f'=-2x+a-1/x在（0，1/2）上恒小于等于0
即
-2x+a-1/x≤0在（0，1/2）上恒成立
即
a≤2x+1/x在（0，1/2）上恒成立
因为
2x+1/x≥2根号2，在x=[根号（2）]/2成立
所以
a≤2根号2
f'(x)=-2x+a-1/x=(-2x^2+ax-1)/x,(x>0)
在(0,1/2)上是减函数,则有f'(x)<0,即有-2x^2+ax-1<0
ax<2x^2+1
a<2x+1/x
设g(x)=2x+1/x
g'(x)=2-1/x^2=(2x^2-1)/x^2>0, x>根号2/2
g'(x)<0,得到0
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f'(x)=-2x+a-1/x=(-2x^2+ax-1)/x,(x>0)
在(0,1/2)上是减函数,则有f'(x)<0,即有-2x^2+ax-1<0
ax<2x^2+1
a<2x+1/x
设g(x)=2x+1/x
g'(x)=2-1/x^2=(2x^2-1)/x^2>0, x>根号2/2
g'(x)<0,得到0
故有在(0,1/2)上是单调减的,所以g(x) 的最小值是g(1/2)=2*1/2+2=3(实际取不到3)
故a<2x+1/x,就要使得a小于等于2x+1/x的最小值是3
即a<=3.
收起
未知数………….就是一直下去