已知函数f(x)=2(sinx)^2+sin2x,x∈[0,2π],求使f(x)为正值的x的集合
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 18:04:36
已知函数f(x)=2(sinx)^2+sin2x,x∈[0,2π],求使f(x)为正值的x的集合
已知函数f(x)=2(sinx)^2+sin2x,x∈[0,2π],求使f(x)为正值的x的集合
已知函数f(x)=2(sinx)^2+sin2x,x∈[0,2π],求使f(x)为正值的x的集合
f(x)=2(sinx)^2+sin2x=1-cos2x+sin2x=√2sin(2x-π/4)+1
令f(x)＞0得
√2sin(2x-π/4)+1＞0
即sin(2x-π/4)＞-√2/2
因为x∈[0,2π]
所以-π/4≤2x-π/4≤15π/4
要满足sin(2x-π/4)＞-√2/2
则-π/4＜2x-π/4＜5π/4或7π/4＜2x-π/4＜13π/4
所以0＜x＜3π/4或π＜x＜7π/4
所以使f(x)为正值的x的集合是{x|0＜x＜3π/4或π＜x＜7π/4}
x∈[0,2π]，所以sinx∈[-1,1]
f(x)=2(sinx)^2+sin2x>0
2(sinx)^2+2sinx*cosx>0 （**）
1）当sinx>0,即x∈(0,π)时
（**）两边同时除以sinx这个正数，不等号不改变方向
2sinx+2cosx>0
...
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x∈[0,2π]，所以sinx∈[-1,1]
f(x)=2(sinx)^2+sin2x>0
2(sinx)^2+2sinx*cosx>0 （**）
1）当sinx>0,即x∈(0,π)时
（**）两边同时除以sinx这个正数，不等号不改变方向
2sinx+2cosx>0
sinx+cosx>0
sinx>-cosx
两边同时除以sinx，得到
1>-cotx
cotx>-1
结合x的讨论的区间，可知x∈(0,3π/4)
2) 当sinx<0,即x∈(π,2π)时
（**）上式两边同时除以sinx这个负数，不等号要改变方向
sinx+cosx<0
sinx<-cosx
两边同时除以sinx这个负数
1>-cotx
cotx>-1
结合x的讨论范围，可知x∈(π,7π/4)
综上，可知x∈(0,3π/4)∪(π,7π/4)
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