棱长相等的正方体和正四面体的内切球体积之比为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/09 20:28:40
棱长相等的正方体和正四面体的内切球体积之比为?
棱长相等的正方体和正四面体的内切球体积之比为?
棱长相等的正方体和正四面体的内切球体积之比为?
可以直接把2个的内切球半径分别算出来
球的体积比就等于3次方内切半径比
求内切球的半径,假设楞长都为1
对于正方体
内切球半径为0.5 这个应该没问题
对于正四面体
可以用体积法求得R（四）
正四面体的体积=底面积×高× （1／3）=底面积×R（四）×（1/3）×4
上面这个式子的几何意义就是把正
四面体分成4相同的小正四面体.
其分割方法是沿着内切球球心和大
正四面体的各顶点的连线
这个思想在中学数学求解内切问题时
时常用到,应该积累下来
剩下的就是计算了
最后算得 比值为6倍的根号6
因为棱长相等的正方体和正四面体的体积相等
所以正方体和正四面体的内切球体积之比为1：1。
显然正四面体的中心与它的内切球的中心是同一点。
内切球的半径为正四面体的中心到它的一个面的距离，设为h
通过这个中心与4个顶点的连线可以把正四面体分成相等的是个三棱锥，每个三棱锥的高为h/4
设棱长为1，则 h=√6/3，h/4=√6/12
体积之比为（1/2）³/[(√6/12)³]=6√6...
全部展开
显然正四面体的中心与它的内切球的中心是同一点。
内切球的半径为正四面体的中心到它的一个面的距离，设为h
通过这个中心与4个顶点的连线可以把正四面体分成相等的是个三棱锥，每个三棱锥的高为h/4
设棱长为1，则 h=√6/3，h/4=√6/12
体积之比为（1/2）³/[(√6/12)³]=6√6
收起
不妨设棱长为1
显然正方体的内切球半径=1/2
正四面体内切球的半径
=正四面体体积/正四面体表面积*3
=1/3*底面积*高/(底面积*4)*3
=高/4
设正四面体ABCD，底面△BCD的重心为O，则AO为正四面体的高
BO=1/2/cos30°=√3/3
AO=√(AB²-BO²)=√(1-1/3)=√6/3...
全部展开
不妨设棱长为1
显然正方体的内切球半径=1/2
正四面体内切球的半径
=正四面体体积/正四面体表面积*3
=1/3*底面积*高/(底面积*4)*3
=高/4
设正四面体ABCD，底面△BCD的重心为O，则AO为正四面体的高
BO=1/2/cos30°=√3/3
AO=√(AB²-BO²)=√(1-1/3)=√6/3
所以正四面体内切球的半径=AO/4=√6/12
棱长相等的正方体和正四面体的内切球半径之比=1/2:√6/12=√6:1
所以体积之比=6√6:1
收起
正方体内切球半径：r=a/2.
正四面体内切球半径：r=a√6/12.
两内切球体积之比为（1/2）^3:(√6/12)a^3=6√6:1
设正四面体S-ABC，高SH，其中H是底面三角形ABC的外心，连结AH，在平面SAH上作SA垂直平分线，交SH于O，则O是内切球心，
设棱长为a,AH=a（√3/2）*（2/3）=a√3/3,
SH=√[a^2-(a√3/3)^2=a√6/3,
△SMO∽△SHA，内切球半径=r,
r=SH-SO=a√6/3-a√6/4=√6/12a
正方体为1/2a
全部展开
设正四面体S-ABC，高SH，其中H是底面三角形ABC的外心，连结AH，在平面SAH上作SA垂直平分线，交SH于O，则O是内切球心，
设棱长为a,AH=a（√3/2）*（2/3）=a√3/3,
SH=√[a^2-(a√3/3)^2=a√6/3,
△SMO∽△SHA，内切球半径=r,
r=SH-SO=a√6/3-a√6/4=√6/12a
正方体为1/2a
1/2a：√6/12a=√6 ：1
收起
正方体的内切球直径等于正方体的棱长，半径R为棱长l的1/2
R=(1/2)l
正四面体的内切球球心即正四面体的中心
连接中心和四个顶点，正四面体可分成四个全等的正三棱锥，正三棱锥和正四面体底面积相同，体积是正四面体的1/4，所以高h1是正四面体高h的1/4
正四面体的内切球球心球心到一个面的距离即内切球半径r就是正三棱锥的高h1
而正四面体的高h由直角三角...
全部展开
正方体的内切球直径等于正方体的棱长，半径R为棱长l的1/2
R=(1/2)l
正四面体的内切球球心即正四面体的中心
连接中心和四个顶点，正四面体可分成四个全等的正三棱锥，正三棱锥和正四面体底面积相同，体积是正四面体的1/4，所以高h1是正四面体高h的1/4
正四面体的内切球球心球心到一个面的距离即内切球半径r就是正三棱锥的高h1
而正四面体的高h由直角三角形的关系可知
h=(√6/3)l
故r=(1/4)h=(√6/12)l
故V(正方体)/V(正四面体)=(R/r)^3=[(1/2)l/(√6/12)]^3=√6
收起
设棱长为a则正方体的内切球半径为a/2，体积公式V=(4/3)πR³，内切球体积为
πa³/6,正四面体内切球半径为√6a/4,体积为√6πa³/8，所以体积比为2√6/9
设棱长为a ，内切球半径均为r
则：
正方体 r1=a/2
正四面体 r2=(a√6)/12
V=4πr³/3
V1/V2=(a/2)³/[(a√6)/12]³ 4π/3已约去
=√6/36
假设正方体的棱长为1，内切球的半径为r1=1/2;
正四面体的棱长也为1，其内切球于四个面分别切于各面的中心，
假设其内切球的半径为r2，利用体积法，以各个面为底面，球心为顶点
的四个三棱锥的体积和等于正四面体的体积，所以得到：
4*（1/3）*（√3/4）*r2=（1/3）*（√3/4）*(√6/3);
所以：r2=√6/12；所以体积比为：（r1:r2)...
全部展开
假设正方体的棱长为1，内切球的半径为r1=1/2;
正四面体的棱长也为1，其内切球于四个面分别切于各面的中心，
假设其内切球的半径为r2，利用体积法，以各个面为底面，球心为顶点
的四个三棱锥的体积和等于正四面体的体积，所以得到：
4*（1/3）*（√3/4）*r2=（1/3）*（√3/4）*(√6/3);
所以：r2=√6/12；所以体积比为：（r1:r2)³=(6/√6)³=6√6.
(四面体的体积没有详细写，相信你自己再运算一下，一定会很明白的，祝你学习愉快。)
收起
设棱长为2a
那么，
正方体的内切球的半径为 a，体积为 π *a^3
正四面体的内切球半径为√3a/3 ，体积为 π *（√3a/3)^3 =√3 π/3
所以，体积比为： π *a^3 ：（√3a^3 π/3）=√3 ：1
正四面体的内切球半径求法：
http://www.qikan.com.cn/Article/zxsh/zxsh200801...
全部展开
设棱长为2a
那么，
正方体的内切球的半径为 a，体积为 π *a^3
正四面体的内切球半径为√3a/3 ，体积为 π *（√3a/3)^3 =√3 π/3
所以，体积比为： π *a^3 ：（√3a^3 π/3）=√3 ：1
正四面体的内切球半径求法：
http://www.qikan.com.cn/Article/zxsh/zxsh200801/zxsh20080113.html
正方体的内切球的半径求法：
http://zhidao.baidu.com/question/99793775.html
收起