已知函数f(x)=ln(x+根号1+x^2)1）求证函数为奇函数 2）求证函数在定义域内是增函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 19:29:16
已知函数f(x)=ln(x+根号1+x^2)1）求证函数为奇函数 2）求证函数在定义域内是增函数
已知函数f(x)=ln(x+根号1+x^2)
1）求证函数为奇函数 2）求证函数在定义域内是增函数
已知函数f(x)=ln(x+根号1+x^2)1）求证函数为奇函数 2）求证函数在定义域内是增函数
1)f(x)=ln(x+根号1+x^2)
f(-x)=ln(-x+根号1+x^2)
=ln1/(x+根号1+x^2)
=-ln(x+根号1+x^2)
=-f(x)
所以
根据奇函数的定义,得
函数是奇函数.
2）
f'(x)=1/[x+√(1+x平方)] ·[x+√(1+x平方)] ’
=1/[x+√(1+x平方)] [1+x/√(1+x平方)]
=1/[x+√(1+x平方)] [（x+√(1+x平方)）/√(1+x平方)]
=1/√(1+x平方)
＞0
从而
函数在其定义域内是增函数.
应该紧扣奇函数定义 f(-x)=ln(-x+根号1+x^2)=ln(-x+根号1+x^2)(x+根号1+x^2)/(x+根号1+x^2)=ln1/(x+根号1+x^2)=ln(x+根号1+x^2)^-1=-ln(x+根号1+x^2)=-f(x).由奇函数定义可知f(x)是奇函数。 这一小节的关键在于分母有理化的那一步，分子、分母有根...
全部展开
应该紧扣奇函数定义 f(-x)=ln(-x+根号1+x^2)=ln(-x+根号1+x^2)(x+根号1+x^2)/(x+根号1+x^2)=ln1/(x+根号1+x^2)=ln(x+根号1+x^2)^-1=-ln(x+根号1+x^2)=-f(x).由奇函数定义可知f(x)是奇函数。 这一小节的关键在于分母有理化的那一步，分子、分母有根号的时候，感觉无从下手的时候，分母有理化是个不错的选择。 2.易知f(x)的定义域是R。用第一问的结论，只需证明函数在[0,正无穷）上递增即可。 可以用复合函数的调调性来解决。g（x）=根号1+x^2在[0,正无穷）上是增函数，h(x)=x在[0,正无穷）上也是增函数，I(x)=lnx在[0,正无穷）也是增函数，又复合函数的单调性易知f（x）在[0,正无穷）也是增函数，由奇函数的性质易知它在R上也是递增的。 用复合函数知识来解答的优点是计算量相对较少。用导数法或者定义法的话计算量就比较大。
收起