在半径为R的圆O上,取点A 以A为圆心,r为半径做一圆,再在圆A上取点B 过B点作圆A的切线 交圆O于P,Q两点,求证,AP与AQ的积为定值

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/03 19:40:57
在半径为R的圆O上,取点A以A为圆心,r为半径做一圆,再在圆A上取点B过B点作圆A的切线交圆O于P,Q两点,求证,AP与AQ的积为定值在半径为R的圆O上,取点A以A为圆心,r为半径做一圆,再在圆A上取

在半径为R的圆O上,取点A 以A为圆心,r为半径做一圆,再在圆A上取点B 过B点作圆A的切线 交圆O于P,Q两点,求证,AP与AQ的积为定值
在半径为R的圆O上,取点A 以A为圆心,r为半径做一圆,再在圆A上取点B 过B点作圆A的切线 交圆O于P,Q两点,求证,AP与AQ的积为定值

在半径为R的圆O上,取点A 以A为圆心,r为半径做一圆,再在圆A上取点B 过B点作圆A的切线 交圆O于P,Q两点,求证,AP与AQ的积为定值
连 AB,
∵ PQ 与圆A 相切于点B
∴ AB ⊥ PQ 且 r = AB
在 Rt△PAB 中,
AP = AB / sin∠P = r / sin∠P -------------------------------------- ①
在 Rt△QAB 中,
AQ = AB / sin∠Q = r / sin∠Q -------------------------------------- ②
① ② 相乘,得：AP × AQ = （r 的平方）/ （sin∠P × sin∠Q）
下面验证（r 的平方）/ （sin∠P × sin∠Q） 是否为定值.
连 AO并延长AO 交圆O于点C,连CQ.
则 AC 为 圆O 的直径 ,故∠AQC = 90°
在Rt△AQC 中 sin∠C = AQ / AC
而 ∠C = ∠ P AC = 2R
∴ sin∠P = AQ / (2R)
∴ AQ = (2R) × sin∠P ---------------------------------------- ③
由 ② ③ 得：r / sin∠Q = (2R) × sin∠P
∴ r / (sin∠P × sin∠Q) = 2R
上式两边同乘 r ,得：
（r的平方） / (sin∠P × sin∠Q) = 2Rr
这就了验证（r 的平方）/ （sin∠P × sin∠Q） 是定值.
即：AP × AQ 的积为定值,定值为 2Rr
如果您掌握了这个方法,那么恭喜,您已经学到了 高中 著名的 “正弦定理”.

连结AB，连结A0并延长交圆O于C，连结CQ

因为BP是圆A切线，所以角ABP=90°

因为AC是圆O直径，所以角AQC=90°，角AQC=角ABP

因为角C和角APQ都在圆O中对应AQ弦，并不在AQ同侧，故角C+角APQ=180°

又因为角APQ+角APB=180°，所以角C=角APB

所以三角形AQC相似于三角形ABP，故AQ:AC=AB:AP，AP*AQ=AB*AC

所以AP与AQ的积为圆O直径与圆A半径的积，为定值

在半径为R的圆O上,取点A 以A为圆心,r为半径做一圆,再在圆A上取点B 过B点作圆A的切线 交圆O于P,Q两点,求证,AP与AQ的积为定值 在同一平面内,已知点O到直线l的距离为6,以点O为圆心,r为半径画圆,圆O上有且只有两个点到直线l的距离等于2,则r的取值范围为?到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）A重心B外心C内心D垂心 已知点O到直线l的距离为3,在以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为1,那么这个圆的半径长r的取值范围 如图,圆心O的半径为5,点P为圆心O外一点,OP=8,以点P为圆心做半径为R的圆(1)当圆心P与圆心O相切,则圆P的半径是多少?(2)当圆心P与圆心O相交,则圆O的半径的取值范围是多少? 以数轴上的原点O为圆心3为半径的扇形中以数轴上的原点O为圆心,3为半径的扇形中,圆心角∠AOB=90°,另一个扇形是以点P为圆心,5为半径,圆心角∠CPD=60°,点P在数轴上表示实数a,如果两个扇形的圆 已知三角形ABC中,AB=AC,点A,B,C在以O为圆心的同一个圆上,圆心O到BC的距离为3CM,圆的半径为7CM,求腰长AB. 在重力加速度为g的空间,有一个带电荷量为+Q的场源电荷置于O点,B、C为以O为圆心、R为半径的竖直圆周上的两点,A、B、O在同一竖直线上,AB=R,O、C在同一水平线上.现在有一质量为m、带电荷量为 用反证法证明“若圆O的半径为r,点P到圆心的距离d大于r,则点P在圆O的外部”,首先应假设（ ）（A)d小于或等于r （B)点P在圆O内 （C）点P在圆O上 （C）点P在圆O上或圆O内 如图,点O到直线的距离为3,如果以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为1,那么半径r的取值范围是------ 设A是圆x^2+y^2=R^2上任意一点,AB⊥Ox,垂足为B,以A为圆心,AB为半径的圆交已知圆于点C、D,又直线CD交AB于点P,当A在圆上运动时,求点O的轨迹方程.点P的轨迹 如图,在Rt△ABC中AB=AC=2根号2,∠BAC=90°,以A为圆心,1为半径作圆,点O为BC上的一动点,以O为圆心,OB为半径作圆,若⊙O与⊙A相切,求OB的长.（有两种情况）. 在半径为R的圆O上取点A,以点A为圆心,r为半径作一圆,再在圆A上取点B,过点B作圆A的切线交圆O于P、Q两点,求证：AP与AQ的积为定值 在半径为R的圆O上取点A,以点A为圆心,r为半径作一圆,再在圆A上取点B,过点B作圆A的切线交圆O于P、Q两点,求证：AP与AQ的积为定值 O到直线L的距离为3.如果以点O为圆心的圆上只有两点到直线L的距离为1,则该圆的半径r的取值范围是 已知AB为半圆O的直径,点P为AB上任意一点,以A为圆心AP为半径作圆A,圆A与半圆A相交于C,以点B为圆心BP为已知AB是半圆O的直径,点P为直径AB上的任意一点,以A为圆心AP为半径作圆A交半圆O于C,以B为圆 如图所示,圆O的半径为R,CD是圆O的直径,以点D为圆心,以r为半径作圆与圆O相交于点A和点B,BD的延长线与圆O相交于点E.求：1.AE∥CD2.AE=r的平方/R 如图所示,圆O的半径为R,CD是圆O的直径,以点D为圆心,以r为半径作圆与圆O相交于点A和点B,BD的延长线与圆O相交于点E.求：AE=r的平方/R 知两个点的坐标,点A(x1,y1),点 O(x2,y2),以点O为圆心做一个半径为R的圆,R已知.点A上做两条射线与圆相切.求切点坐标 X=?Y=?（点A,点O,半径R均已知,点A不在圆内）