直线L：ax-y-i=0与双曲线C：x^2-2y^2=1相交于PQ两点,是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆过原点!说明理由存在求值,不存在说明理由?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/08 02:52:57
直线L：ax-y-i=0与双曲线C：x^2-2y^2=1相交于PQ两点,是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆过原点!说明理由存在求值,不存在说明理由?
直线L：ax-y-i=0与双曲线C：x^2-2y^2=1相交于PQ两点,是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆过原点!说明理由
存在求值,不存在说明理由?
直线L：ax-y-i=0与双曲线C：x^2-2y^2=1相交于PQ两点,是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆过原点!说明理由存在求值,不存在说明理由?
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
ax－y－1=0
x^2－2y^2=1联立
∴(1－2a^2)x^2+4ax－3=0.
若1－2a^2=0,即a=±√2/2时,l与C的渐近线平行,l与C只有一个交点,与题意不合,
1－2a^2≠0
Δ=(4a)^2－4(1－2a^2)(－3)＞0,∴－√6/2＜a＜√6/2.
x1+x2=-4a/(1－2a^2)
x1x2=-3/(1－2a^2)
y1+y2=ax1-1+ax2-1=a(x1=x2)-2=-2/(1-2a^2) .(注：a^2不能等于1/2）.
由此可以得出圆心的坐标为（-2a/(1-2a^2) ,-1/(1-2a^2)）.
由上面可得出圆的线行方程式（x+2a/(1-2a^2) ）^2+（y+1/(1-2a^2)）^2=1/4*D^2.
因为直径D=√k^2+1*（x1-x2)的绝对值.（在此题中k=a)
将D带入上试中,且圆过圆心可得：（2a/(1-2a^2) ）^2+（1/(1-2a^2)）^2=1/4*（√a^2+1*（x1-x2)）^2
因为（x1-x2)^2=（x1+x2)^2-4x1*x2 ,再带入上试中化简得：2a^4+3a^2-2=0
解得：a^2=1/2,而当a^2=1/2时,直线与曲线只有一个交点.所以假设不成立,所以实数a不存在.
我说下解题思路（实在是懒得算。。。TT）：首先关于直线L的方程分别用“x表示y”和“y表示x”两种形式写出来。然后代入双曲线方程的分别得到关于x和y的一元二次含参方程，利用韦达定理与弦长公式可以求得PQ的中点坐标以及PQ长度（均为含参的代数式）。之后利用点到原点距离公式求出PQ中点到原点的距离，列出等式即：PQ中点到原点距离=PQ长度的一半 ，我想整理后应该是关于a的一元二次方程。最后利用△判断方...
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我说下解题思路（实在是懒得算。。。TT）：首先关于直线L的方程分别用“x表示y”和“y表示x”两种形式写出来。然后代入双曲线方程的分别得到关于x和y的一元二次含参方程，利用韦达定理与弦长公式可以求得PQ的中点坐标以及PQ长度（均为含参的代数式）。之后利用点到原点距离公式求出PQ中点到原点的距离，列出等式即：PQ中点到原点距离=PQ长度的一半 ，我想整理后应该是关于a的一元二次方程。最后利用△判断方程是否有解，若有解，则可求出a；若无解，则a不存在。 呵呵
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