在锐角三角形ABC中,角A=2角B,则c/b的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/05/09 19:04:50
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在锐角三角形ABC中,角A=2角B,则c/b的取值范围
在锐角三角形ABC中,角A=2角B,则c/b的取值范围

在锐角三角形ABC中,角A=2角B,则c/b的取值范围

先确定∠B的范围
∠A=2∠B<π/2 , ∴ ∠B<π/4
∠C=π-∠A-∠B=π-3∠B<π/2, ∴ ∠B>π/6
即 π/6 < ∠B < π/4
利用正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
∴ c/b
=sinC/sinB
=sin(π-3B)/sinB
=sin(3B)/sinB
=sin(2B+B)/sinB
=(sin2BcosB+cos2BsinB)/sinB
=2cos²B+cos2B
=2cos²B+2cos²B-1
=4cos²B-1
∵ π/6 < ∠B < π/4
∴ cosB∈(√2/2,√3/2)
cos²B∈(1/2,3/4)
∴ 4cos²B-1∈(1,2)

(1,2)

2根号2-1