已知x^2+y^2=1.x,y∈R+,求x*y^2的最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/05/02 15:04:08
已知x^2+y^2=1.x,y∈R+,求x*y^2的最大值已知x^2+y^2=1.x,y∈R+,求x*y^2的最大值已知x^2+y^2=1.x,y∈R+,求x*y^2的最大值先三角换元,令x=cosθ

已知x^2+y^2=1.x,y∈R+,求x*y^2的最大值
已知x^2+y^2=1.x,y∈R+,求x*y^2的最大值

已知x^2+y^2=1.x,y∈R+,求x*y^2的最大值
先三角换元,令x=cosθ,y=sinθ(0

令x=cosθ,则y=sinθ。因为x、y∈R+,所以θ∈(0,π/2)
x(y^2)=cosθ(sinθ)^2=cosθ[1-(cosθ)^2]=cosθ-(cosθ)^3,设其为f(θ)
当f'(θ)=-sinθ+3(cosθ)^2*sinθ=0时,所求函数取到极大值,得到sinθ=0或3(cosθ)^2-1=0。
(1)当sinθ=0时,与θ∈(0,π/2)矛盾,舍去...

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令x=cosθ,则y=sinθ。因为x、y∈R+,所以θ∈(0,π/2)
x(y^2)=cosθ(sinθ)^2=cosθ[1-(cosθ)^2]=cosθ-(cosθ)^3,设其为f(θ)
当f'(θ)=-sinθ+3(cosθ)^2*sinθ=0时,所求函数取到极大值,得到sinθ=0或3(cosθ)^2-1=0。
(1)当sinθ=0时,与θ∈(0,π/2)矛盾,舍去!
(2)当3(cosθ)^2-1=0时,有cosθ=√3/3,
算得函数最大值为√3/3-(√3/3)^3=2√3/9

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