一道高一集合题一个集合含有10个互不相同的两位数,求证：这个集合必有2个无公共元素的子集,此两个集合的各数之和相等
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/02 20:38:40
一道高一集合题一个集合含有10个互不相同的两位数,求证：这个集合必有2个无公共元素的子集,此两个集合的各数之和相等
一道高一集合题
一个集合含有10个互不相同的两位数,求证：这个集合必有2个无公共元素的子集,此两个集合的各数之和相等
一道高一集合题一个集合含有10个互不相同的两位数,求证：这个集合必有2个无公共元素的子集,此两个集合的各数之和相等
这是一道高中竞赛题吧.
首先,在方法上肯定使用鸽笼原理.
那么下面就来构造鸽子和笼子.
一个10个元素的集合,他的非空子集有（2的10次方-1）个,即1023个子集（此即是鸽子）
同时,10个互不相同的两位数他们之和的最大值是（90+99）*5=945,
又因为是两位数,所以最小是只有一个元素的集合,即10.
所以,10个元素的集合的子集,他的元素之和的取值范围是10 到 945.（此即是笼子）
由鸽笼原理,1023只鸽子放入936只笼子,必然会有2只鸽子放在同一只笼子里.
即是说,必然能找到2个无公共元素的子集,此两个集合的各数之和相等 .
所以,得证.
可构造一个抽屉原理模型,分两步完成:
已知集合有2^10-1=1023个不同的非空子集,
每一个子集内各数之和都不超过99+98+...+90=945<1023,
故一定存在2个不同的子集,其元素之和相等;
划去它们共有的数字,
可得两个无公共元素的非空子集,其所含各数之和相等....
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可构造一个抽屉原理模型,分两步完成:
已知集合有2^10-1=1023个不同的非空子集,
每一个子集内各数之和都不超过99+98+...+90=945<1023,
故一定存在2个不同的子集,其元素之和相等;
划去它们共有的数字,
可得两个无公共元素的非空子集,其所含各数之和相等.
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请问一下此两个集合怎么变成两个了？
这十个数任意取若干个相加，则会有2^10（2的10次方）-1种组合，共1023种，而10个不同的两位数相加最大值只有（90+99）*10/2 = 905；最小值10。故十个数任意取若干个相加只有905 - 10 + 1 = 896种不同的值，根据抽屉原理，一定有两组数，他们的和相等。
去掉相同的元素，即得题目需要的划分。
——抽屉原理简介：11个球放在10个抽屉里，则必有两个球放...
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这十个数任意取若干个相加，则会有2^10（2的10次方）-1种组合，共1023种，而10个不同的两位数相加最大值只有（90+99）*10/2 = 905；最小值10。故十个数任意取若干个相加只有905 - 10 + 1 = 896种不同的值，根据抽屉原理，一定有两组数，他们的和相等。
去掉相同的元素，即得题目需要的划分。
——抽屉原理简介：11个球放在10个抽屉里，则必有两个球放在同一个抽屉里。
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