圆x2+y2=16,点A（2,0）……圆x2+y2=16,点A（2,0）,若P、Q为圆上动点且AP与AQ垂直,求PQ中点轨迹

圆x2+y2=16,点A（2,0）……圆x2+y2=16,点A（2,0）,若P、Q为圆上动点且AP与AQ垂直,求PQ中点轨迹
圆x2+y2=16,点A（2,0）……
圆x2+y2=16,点A（2,0）,若P、Q为圆上动点且AP与AQ垂直,求PQ中点轨迹

圆x2+y2=16,点A（2,0）……圆x2+y2=16,点A（2,0）,若P、Q为圆上动点且AP与AQ垂直,求PQ中点轨迹
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解: 设PQ中点M的坐标为(x, y), 利用三角函数换元法解决问题.
依条件设P(4cosθ1, 4sinθ1) , Q(4cosθ2, 4sinθ2),
则由中点公式得
x=2(cosθ1+ cosθ2) ①
y=2(sinθ1+ sinθ2) ②
∵ 向量AP=(4cosθ1-2, 4sinθ1), 向量AQ=(4cosθ2-2, 4sinθ2),
又AP⊥AQ, 故向量AP点乘向量AQ=0.
即(4cosθ1-2)( 4cosθ2-2)+( 4sinθ14sinθ2)=0.
即(16 cosθ1 cosθ2+ sinθ1 sinθ2)-8(cosθ1+ cosθ2)+4=0 ③
①^2+②^2
得x^2+y^2=4(2+2 cosθ1 cosθ2+2 sinθ1 sinθ2).
∴cosθ1 cosθ2+sinθ1 sinθ2=(x^2+y^2-8)/8 ④
将④、①代入③得2(x^2+y^2-8)-4x+4=0,
即P、Q中点的轨迹方程为(x-1)^2+ y^2=7
希望可以帮到你

设P，Q点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),由题意可得
x1^2+y1^2=16.....(1)
x2^2+y2^2=16.....(2)
ap=(x1-2,y1),aq=(x2-2,y2),AP⊥AQ所以
ap×aq=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0整理
x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0
2x1x2-4(x1+x2)+...

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设P，Q点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),由题意可得
x1^2+y1^2=16.....(1)
x2^2+y2^2=16.....(2)
ap=(x1-2,y1),aq=(x2-2,y2),AP⊥AQ所以
ap×aq=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0整理
x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0
2x1x2-4(x1+x2)+8+2y1y2=0....(3)
(1)+(2)+（3）得:
(x1+x2)^2+(y1+y2)^2-4(x1+x2)=24
设P,Q中点坐标为(x,y)，有2x=x1+x2,2y=y1+y2,
所以得方程为
4x^2+4y^2-8x=24即x^2+y^2-2x-6=0
为圆心(1,0),半径为√7的圆(x-1)^2+y^2=7

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设PQ中点M的坐标为（x，y）
依条件可设P（4cosθ1，4sinθ1），Q（4cosθ2，4sinθ2）
则由中点公式得x＝2(cosθ1＋cosθ2) ①
Y＝2(sinθ1＋sinθ2) ②
∵AP(向量)＝(4cosθ1－2，4sinθ1)，AQ(向量)＝(4cosθ2－2，4sinθ2)，且AP⊥AQ
∴...

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设PQ中点M的坐标为（x，y）
依条件可设P（4cosθ1，4sinθ1），Q（4cosθ2，4sinθ2）
则由中点公式得x＝2(cosθ1＋cosθ2) ①
Y＝2(sinθ1＋sinθ2) ②
∵AP(向量)＝(4cosθ1－2，4sinθ1)，AQ(向量)＝(4cosθ2－2，4sinθ2)，且AP⊥AQ
∴AP(向量)•AQ(向量)＝0
即(4cosθ1－2)(4cosθ2－2)＋(4sinθ14sinθ2)＝0
即(16cosθ1cosθ2＋sinθ1sinθ2)－8(cosθ1＋cosθ2)＋4＝0 ③
①2＋②2得x2＋y2＝4(2＋2cosθ1cosθ2＋2sinθ1sinθ2)
∴cosθ1cosθ2＋sinθ1sinθ2＝(x2＋y2－8)/8 ④
将④、①代入③得2(x2＋y2－8)－4x＋4＝0
即P、Q中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝7

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（1）设PQ的中点为M(a,b).由题设可知，由动点P,Q和定点A确定的动圆圆心恰为点M,半径为|MA|。点P,Q则是动圆⊙M与圆x²+y²=16的交点。（2）易知，动圆M的方程为(x-a)²+(y-b)²=(a-2)²+b².化简即是⊙M：x²+y²-2ax-2by=4-4a.与x²+y²=16联...

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（1）设PQ的中点为M(a,b).由题设可知，由动点P,Q和定点A确定的动圆圆心恰为点M,半径为|MA|。点P,Q则是动圆⊙M与圆x²+y²=16的交点。（2）易知，动圆M的方程为(x-a)²+(y-b)²=(a-2)²+b².化简即是⊙M：x²+y²-2ax-2by=4-4a.与x²+y²=16联立消去y,得：(a²+b²)x²-2a(2a+6)x+(2a+6)²-16b²=0.设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则由韦达定理及中点公式得x1+x2=2a(2a+6)/(a²+b²)=2a.===>a²+b²-2a-6=0.即PQ中点M的轨迹方程为x²+y²-2x-6=0.化为标准形式即(x-1)²+y²=7.

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