二维随机变量问题已知随机变量X1和X2相互独立且具有相同的分布：P{Xi=-1}=P{Xi=1}=1/2(i=1,2),则X1与X1X2是否独立且有相同的分布?答案是这样的：又题意知X1X2可取-1,1,且P{X1X2=-1}=P{X1=-1,X2=1}+p{X1=1,X2=-1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/17 22:24:11
二维随机变量问题已知随机变量X1和X2相互独立且具有相同的分布：P{Xi=-1}=P{Xi=1}=1/2(i=1,2),则X1与X1X2是否独立且有相同的分布?答案是这样的：又题意知X1X2可取-1,1,且P{X1X2=-1}=P{X1=-1,X2=1}+p{X1=1,X2=-1
二维随机变量问题
已知随机变量X1和X2相互独立且具有相同的分布：P{Xi=-1}=P{Xi=1}=1/2(i=1,2),则X1与X1X2是否独立且有相同的分布?
答案是这样的：
又题意知X1X2可取-1,1,且
P{X1X2=-1}=P{X1=-1,X2=1}+p{X1=1,X2=-1}=P{X1=-1}PX2=1}+p{X1=1}P{X2=-1}=(1/4)+(1/4)=1/2
又P{X1=-1,X1X2=-1}=P{X1=-1,X2=1}=1/4 这一步是怎么得到的?为什么它俩相等?
二维随机变量问题已知随机变量X1和X2相互独立且具有相同的分布：P{Xi=-1}=P{Xi=1}=1/2(i=1,2),则X1与X1X2是否独立且有相同的分布?答案是这样的：又题意知X1X2可取-1,1,且P{X1X2=-1}=P{X1=-1,X2=1}+p{X1=1,X2=-1
因为X1,X2的所有可能取值只能是1和-1
所以要使X1X2=-1,只能一个取1,一个取-1,乘起来才能等于-1,因此有第一步
P{X1X2=-1}=P{X1=-1,X2=1}+p{X1=1,X2=-1}
然后利用独立性可知
P{X1=-1,X2=1}=P{X1=-1}P{X2=1}
P{X1=1,X2=-1}=P{X1=1}P{X2=-1}
从而有第二步P{X1=-1,X2=1}+p{X1=1,X2=-1}=P{X1=-1}P{X2=1}+p{X1=1}P{X2=-1}
而我们要判断X1与X1X2是否独立,就是要证明下面的4个式子是否成立的问题
①P{X1=-1,X1X2=1}=P{X1=-1}P{X1X2=1}
②P{X1=-1,X1X2=-1}=P{X1=-1}P{X1X2=-1}
③P{X1=1,X1X2=1}=P{X1=1}P{X1X2=1}
④P{X1=1,X1X2=-1}=P{X1=1}P{X1X2=-1}
而事件{X1=-1,X1X2=-1}实际上表示的是X1=-1和X1X2=-1同时要发生的事件,所以当X1=-1发生了,又要同时满足X1X2=-1,则必须要求X2=1,因为有
{X1=-1,X1X2=-1}={X1=-1,X2=1},即两事件等价
从而概率相同,即P{X1=-1,X1X2=-1}=P{X1=-1,X2=1}