已知Rt△ABC中BM=AC,AN=CM求证：∠BPM=45°

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/05/09 14:16:04

已知Rt△ABC中BM=AC,AN=CM求证：∠BPM=45°已知Rt△ABC中BM=AC,AN=CM求证：∠BPM=45°已知Rt△ABC中BM=AC,AN=CM求证：∠BPM=45°证法一（初中知

已知Rt△ABC中BM=AC,AN=CM求证：∠BPM=45°
已知Rt△ABC中BM=AC,AN=CM求证：∠BPM=45°

已知Rt△ABC中BM=AC,AN=CM求证：∠BPM=45°
证法一（初中知识证法）：
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P.
设AC=BM=X,MC=AN=Y,则
BC=BM+MC=X+Y,CN=AC-AN=X-Y
AM=√（AC^2+MC^2）=√（X^2+Y^2）
过N点作NE⊥AM,交AM于E点,则△AEN∽△ACB
AE/AN=AC/AM,NE/AN=MC/AM
AE=AN*AC/AM=Y*X/√（X^2+Y^2）
NE=AN*MC/AM=Y^2/√（X^2+Y^2）
过P点作PF⊥BC,交BC于F点,则△PFM∽△ACM,△BPF∽△BNC
PF/FM=AC/MC,PF=FM*AC/MC=FM*X/Y
PF/BF=CN/BC,PF=BF*CN/BC=BF*（X-Y）/（X+Y）
BF*（X-Y）/（X+Y）=FM*X/Y
BF=（FM*X/Y）*[（X+Y）/（X-Y）]=FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]
BF=BM+FM=X+FM
FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]=X+FM
FM=XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）
PM/FM=AM/CM
PM=FM*AM/MC=[XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）]*[√（X^2+Y^2）/Y]
=X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）
PE=AM-AE-PM
=√（X^2+Y^2）-Y*X/√（X^2+Y^2）-X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）
=Y^2/√（X^2+Y^2）
=NE
因为NE⊥AM,即NE⊥PE
可知在直角△NEP中,NE=PE
故 ∠EPN=45°
但∠BPM=∠EPN
所以∠BPM=45°
证法二：
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于点P.
设AC=BM=X,MC=AN=Y,则
BC=BM+MC=X+Y,CN=AC-AN=X-Y
tan∠AMC=AC/MC=X/Y
tan∠NBC=CN/BC=（X-Y）/（X+Y）
∠AMC=∠BPM+∠NBC
∠BPM=∠AMC-∠NBC
tan∠BPM=tan（∠AMC-∠NBC）
=（tan∠AMC-tan∠NBC）/（1+tan∠AMC*tan∠NBC）
=[X/Y-（X-Y）/（X+Y）]/[1+（X/Y）*（X-Y）/（X+Y）]
=[X*（X+Y）-Y*（X-Y）]/[Y*（X+Y）+X*（X-Y）]
=（X ^2+Y ^2）/（X ^2+Y ^2）
=1
因为∠BPM

http://zhidao.baidu.com/question/70985608.html?si=5
这都做过了。

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额，确实伤脑筋啊。
证法一（初中知识证法）：
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。
设AC=BM=X，MC=AN=Y，则
BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y
AM=√（AC^2+MC^2）=√（X^2+Y^2）
过N点作NE⊥AM，交AM于E点，则△AEN∽△ACB
AE/AN=AC/AM，NE/AN=MC/AM
AE=AN*AC/AM=Y*X/√（X^2+Y^2）
NE=AN*MC/AM=Y^2/√（X^2+Y^2）
过P点作PF⊥BC，交BC于F点，则△PFM∽△ACM，△BPF∽△BNC
PF/FM=AC/MC，PF=FM*AC/MC=FM*X/Y
PF/BF=CN/BC，PF=BF*CN/BC=BF*（X-Y）/（X+Y）
BF*（X-Y）/（X+Y）=FM*X/Y
BF=（FM*X/Y）*[（X+Y）/（X-Y）]=FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]
BF=BM+FM=X+FM
FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]=X+FM
FM=XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）
PM/FM=AM/CM
PM=FM*AM/MC=[XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）]*[√（X^2+Y^2）/Y]
=X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）
PE=AM-AE-PM
=√（X^2+Y^2）-Y*X/√（X^2+Y^2）-X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）
=Y^2/√（X^2+Y^2）
=NE
因为NE⊥AM，即NE⊥PE
可知在直角△NEP中，NE=PE
故 ∠EPN=45°
但∠BPM=∠EPN
所以∠BPM=45°
证法二：
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。
设AC=BM=X，MC=AN=Y，则
BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y
tan∠AMC=AC/MC=X/Y
tan∠NBC=CN/BC=（X-Y）/（X+Y）
∠AMC=∠BPM+∠NBC
∠BPM=∠AMC-∠NBC
tan∠BPM=tan（∠AMC-∠NBC）
=（tan∠AMC-tan∠NBC）/（1+tan∠AMC*tan∠NBC）
=[X/Y-（X-Y）/（X+Y）]/[1+（X/Y）*（X-Y）/（X+Y）]
=[X*（X+Y）-Y*（X-Y）]/[Y*（X+Y）+X*（X-Y）]
=（X ^2+Y ^2）/（X ^2+Y ^2）
=1
因为∠BPM<180°
所以∠BPM=45°

收起

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收起

已知Rt△ABC中BM=AC,AN=CM求证：∠BPM=45° 如图已知：△ABC中,M.N分别在AB.AC上BN.CM交于H BN=CM .BM=CN 求证：AM=AN 如图所示,已知△ABC中,BE⊥AC于E,CF上分别截取BM=AC,CN=AB,连接AM、AN,试说明AM与AN的关系如图所示,已知△ABC中,BE⊥AC于E,CF上分别截取BM=AC,CN=AB,i连接AM、AN,试说明AM与AN的关系已知:在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于M,求证:BM=CM 已知：如图,在△ABC中AB=AC,点M、N上,且AM=AN,求证：BM=CN（要求：不用三角形全等的方法已知如图,△ABC中,∠B=∠CAM,MN∥AC,BM=10,CM=8,求MN的长. 如图在RT△ABC中AB=AC,角BAC=90°O为BC中点.如果点M,N分别在线段AB,AC上移动且保持AN=BM △OMN什么形如图在RT△ABC中AB=AC,角BAC=90°O为BC中点.如果点M,N分别在线段AB,AC上移动且保持AN=BM △OMN什么形如图,在rt三角形abc中,ab=ac,∠bac=90°,d为bc中点M、N分别在AB、AC上移动,保持AN=BM,判断△DMN的形状并说明理由在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证：AE×CM=AC×CD 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证：AE×CM=AC×CD是的已知Rt三角形ABC中,cosB=5分之3,BC=15cm,则AC 如图已知RT三角形ABC中,AB=AC,在RT三角形ADE中,AD=AE,连结EC,取EC中点M,连结DM和BM,探究线段BM和DM的数数量和位置关系如图已知RT三角形ABC中,AB=AC,在RT三角形ADE中,AD=AE,连结EC,取EC中点M,连结DM和BM,探究线段BM和DM的数量关系和位置关系如图已知RT三角形ABC中,AB=AC,在RT三角形ADE中,AD=AE,连结EC,取EC中点M,连结DM和BM,探究线段BM和DM的数量与位置关系等边三角形ABC中,点M,N分别在AB,AC,上,且AN=BM,BN与CM相交于点O,若S三角形ABC=7,S三角形OBC=2,则BM比BA=几? 已知RT△ABC中,AB=BC,在RT△ADE中,AD=DE连接EC,取EC中点M,连接DM和BM.若点D在边AC上.是否成立? 已知Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE ,连结EC,取EC中点M,连结DM和BM.若点D在边AC上,点E在边AB