抛物线c:y*2=8x,一直线l:y=k(x-2)与抛物线c相交于a,b两点,设m=ab的绝对值,则m的取值范围是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/05 08:20:08
抛物线c:y*2=8x,一直线l:y=k(x-2)与抛物线c相交于a,b两点,设m=ab的绝对值,则m的取值范围是多少
抛物线c:y*2=8x,一直线l:y=k(x-2)与抛物线c相交于a,b两点,设m=ab的绝对值,则m的取值范围是多少
抛物线c:y*2=8x,一直线l:y=k(x-2)与抛物线c相交于a,b两点,设m=ab的绝对值,则m的取值范围是多少
设交点A(x1,y1) B(x2,y2)
y=k(x-2)与抛物线c：y²=8x
k²x²-(4k²+8)x+4k²=0
由韦达定理x1+x2=(4k²+8)/k²=4+8/k² x1*x2=4
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2
=16+16/k²+64/k^4-16
=(16/k²)(1+4/k²)
又y1=k(x1-2) y2=k(x2-2)
y1-y2=k(x1-x2)
所以m=IABI=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√[(1+k²)(x1-x2)²]
=4√[4(1/k²+5/8)²-9/16]
∵k²>0
k²→+∞时,m→4
∴m的取值范围为(4, +∞)
希望能帮到你,祝学习进步O(∩_∩)O
韦达定理代弦长公式
抛物线C与直线l联立，得到k²x²－﹙4k²＋8﹚x＋4k²＝0,________（1）
设交点为A（x′,y′），B（x″,y″）
.则|AB|＝√﹙x′－x″﹚²＋﹙y′－y″﹚²
＝√﹙x′－x″﹚²＋k²﹙x′－x″﹚²
＝√﹙1＋k²﹚·√﹛﹙x′＋x″﹚&...
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抛物线C与直线l联立，得到k²x²－﹙4k²＋8﹚x＋4k²＝0,________（1）
设交点为A（x′,y′），B（x″,y″）
.则|AB|＝√﹙x′－x″﹚²＋﹙y′－y″﹚²
＝√﹙x′－x″﹚²＋k²﹙x′－x″﹚²
＝√﹙1＋k²﹚·√﹛﹙x′＋x″﹚²－4x′x″﹜
＝√﹙1＋k²﹚·﹙√⊿﹚／k². 此处，⊿＝常说的b²－4ac＝﹙4k²＋8﹚²－4k²·4k².
即⊿＝64²＋64，√⊿＝8√﹙1＋k²﹚.
|AB|＝8＋﹙8／k²﹚>8.此为答案。由于k不等于“无限大”，所以AB的长度无最小值。
其实，你如果先把抛物线的焦点F（2,0）写出来，就可以看出：AB是“焦点弦”。它的最小值就是“通径”＝2p＝8；AB的长度无最大值，因为当k从正值无限变小时，交点可以无限远。但是k是一个具体的数，而通径的斜率不存在，所以|AB|不可能得到8.
收起
y²=8x
y=k(x-2)
解上方程组可得：x1+x2=(4k+8)/k² x1x2=4
y1+y2=k(x1+x2-4)=(-4k²+4k+8 )/k y1y2=k² [x1x2-2(x1+x2)+4]=8k² -8k-16
m=∣ab∣=√(x1-x2)²+(y1-y2)²
=√(x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)² -4y1y2
=